A) NHẬN THẤY X Y Z; ; 0;0; 0 LÀ MỘT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TR...
Câu 2.
a) Nhận thấy
x y z
; ;
0;0; 0
là một nghiệm của phương trình. Xét các nghiệm của phương trình khác
0;0; 0 .
Giả sử phương trình đã cho có nghiệm
x y z
0
;
0
;
0
thì ta thay bất kỳ
x
0
bởi
x
0
hoặc
y
0
bởi
y
0
hoặc
z
0
bởi
thì bộ mới nhận được cũng là nghiệm của phương trình.
z
0
Không mất tính tổng quát giả sử phương trình đã cho có nghiệm
x y z
; ;
mà
x y z
, ,
0
và
x
y
z
nhỏ nhất.
Ta có:
x
2
2
y
2
5
z
2
nên suy ra
x
2
2
y
2
chia hết cho
5.
Mà
x
2
chia
5 dư
0, 1, 4
và
2
y
2
chia
5 dư
0, 2, 3
nên
x
2
2
y
2
chia hết cho
5 khi và chỉ khi
x
và
y
đều chia
hết cho
5. Khi đó đặt
x
5 ,
m y
5
n
với
m n
,
*
.
Thay vào phương trình ban đầu ta được:
5
m
2
10
n
2
z
2
.
Từ đây suy ra
z
chia hết cho
5 nên đặt
z
5 .
p
Suy ra:
m
2
2
n
2
5
p
2
.
Từ đây ta suy ra
m n p
; ;
là một nghiệm của phường trình đã cho và
m
n
p
x
y
z
.
Tuy nhiên điều này mâu thuẫn với cách chọn
x y z
; ;
ban đầu nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
0;0; 0 .
b) Ta có:
a a c
2
b d
2
a c
3
b c
3
ab d
2
b c
3
c a
3
b
3
b ad
2
bc
Vì
a c
2
b d
2
chia hết cho
a
3
b
3
nên
b ad
2
bc
chia hết cho
a
3
b
3
.
Mà
a b
,
1
nên
ad
bc
chia hết cho
a
3
b
3
.
2
2
4
c) Ta có:
p
a
b
p
a
b
.
b
a
b
b
a
b
Đặt
2
p
m
b
n
với
m n
,
*
và
m n
;
1.
Đặt
a
b a
;
b
k
với
k
*
.
Suy ra:
a
b
km
2
2
2
b
k n
2
m
2
4
pn
km n
2
m
2
.
a
b
kn
Số chính phương lẽ chia
8 dư
1
nên nếu
m
và
n
cùng lẽ suy ra
n
2
m
2
8
suy ra
4
pn
8
p
2
do
n
lẽ.
Nếu
m n
,
không cùng tình chẵn lẽ thì
k
chẵn. Suy ra
k
2
r
với
r
*
.
Khi đó ta có:
2
pn
rm n
2
m
2
.
Mà
m n
;
1
n
2
m n
2
;
1
m n
2
m
2
;
n
1.
Nên
r n
.
Suy ra
r
ns
,
ta có:
2
p
sm n
m n
m
.
3
p
m
n
p
+ Nếu
m
lẽ thì
s
chẵn
s
2.
Khi đó
1
2 .
n
m
n
m
m
1
1
p
n
p
2
1
3
.
+ Nếu
m
chẵn thì
m
2
suy ra
p
s n
2
n
2 .
Vì
p
nguyên tố nên
s
1.
Suy ra:
2
5
n
n
Với
p
5,
ta có
m
2,
n
3,
k
6,
a
39,
b
15.
Vậy bộ
a b p
; ;
39;15;5
là giá trị cần tìm.