CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢPBÀI TOÁN 1B
6. Các bài toán tổng hợp
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC . Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông
ABGH , ACEF và BCIJ. Gọi O
1
,O
2
, O
3
lần lợt là tâm các hình vuông . M là trung
điểm của BC, D là trung điểm của HF.
a. Chứng minh O
1
MO
2
là tam giác vuông cân .
b. Tứ giác DO
1
MO
2
là hình vuông .
c. Chứng minh HF = 2AM .
d. Chứng minh AD vuông góc với BC và AM vuông góc với HF
e. Chứng minh O
1
O
2
= AO
3
.
P
D F
H
Q
A
O1 O2
K
E
G
B C
N
M
O3
A’
J I
I
HD :
a. Chứng minh hai tam giác HAC và BAC bằng nhau để đợc :
- HC = BF
-AHC = ABF cùng với AH vuông góc với AB đợc HC vuông góc với BF .
O
1
M và O
2
M lần lợt là hai đờng trung bình của hai tam giác BHC và BCF nên :
- O
1
M song song và bằng nửa HC; O
2
M song song và bằng nửa BF
Kết hợp các kết luận trên để đợc điều cần chứng minh .
Tơng tự ta chứng minh đợc O
1
DO
2
là tam giác vuông cân tại D từ đó suy ra
đpcm.
c. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua M .Ta chứng minh đợc BA’ song song và
bằng AC => BA’ vuông góc và bằng AF .
Lại có BA vuông góc và bằng AH nên hai tam giác HAF và ABA’ bằng
nhau => HF = AA’ = 2AM.
d. Hạ HP và FQ vuông góc với đờng cao từ AN của tam giác ABC.
-Chứng minh hai tam giác HQA và ANB bằng nhau => HQ=AN
-Chứng minh hai tam giác FPA và ANC bằng nhau => FP=AN
HQ = FP
Từ đó chứng minh HQFP là hình bình hành => AN qua trung điểm D của
HF.
Với tam giác AHF ta có điều ngợc lại AM vuông góc với HF .
e. Gọi K là trung điểm của AC ta có :
KA = O
2
K
O
1
K = O
3
K
O
1
KO
2
= AKO
3
Hai tam giác O
1
KO
3
, O
3