( 1.0 ĐIỂM )GỌI (O) LÀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC AB...

Bài 5 ( 1.0 điểm )Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M, N, P lầnlượt là trung điểm của BC, CA, AB.Do tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác ABC , suy ra nên

_MOC



_

₆₀

⁰

Vì

_BAC



_

₆₀

⁰

OA OB OC







MC



^{sin 60}

⁰

²

0,25 đVì O nằm trong tam giác ABC và

, ,

OM  BC ON  AC OP  AB

Suy ra tam giác ABC được chia thành 3 tứ giác ANOP, BMOP, CMON nội tiếp các đường tròn có đường kính 2 (đường kính lần lượt là OA, OB, OC).Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại ít nhất một trong 3 tứ giác này chứa ít nhất 5 điểm trong 13 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác 0,25 đ ANOP.Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của NA, AP, PO, ON và I là trung điểm OA, suy ra

IA IP IO IN









¹

Khi đó tứ giác ANOP được chia thành 4 tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội tiếp các đường tròn có đường kính 1.Theo nguyên lý Đirichlê, tồn tại ít nhất một trong 4 tứ giác này chứa ít nhất 2 điểm trong 5 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác AEIF chứa 2 điểm X, Y trong số 13 điểm đã cho.Vì X, Y nằm trong tứ giác AEIF nên X, Y nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này, nghĩa là khoảng cách giữa X, Y không vượt quá 1. 0,25 đ

06.

Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa các cặp điểm là các số khác nhau. Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng .Chứng minh rằng trong các đoạn thẳng thu được có một đoạn thẳng là cạnh bé nhất của tam giác có ba đỉnh là ba trong số 6 điểm đã cho , đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giác khác có ba đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho DAPANBài Nội dung Điểm Quy ước : gọi mỗi tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong số các điểm đã cho một cách vắn tắt là tam giác Với mỗi tam giác, ta tô các cạnh lớn nhất của nó màu xanh, ta tômàu đỏ tất cả các đoạn thẳng không được tô màu xanhGọi một trong sáu điểm đã cho là A. Do đó theo nguyên lý Đrichlê tại 3 đoạn trong số 5 đoạn nối với 5 điểm còn lại cùng