CHO 13 ĐIỂM PHÂN BIỆT NẰM TRONG HAY TRÊN CẠNH MỘT TAM GIÁC ĐỀU CÓ CẠNH BẰNG 6 CM

10. Cho 13 điểm phân biệt nằm trong hay trên cạnh một tam giác đều có cạnh bằng 6 cm. Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong số 13 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá

³

cmDAP ANĐáp án ĐiểmGọi M, N, K lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB ta có 4 tam giác đều 0,25ANK, BMK, CMN và MNK đều có cạnh bằng 3cm.Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của KN, NA và AK. Dễ thấy các tứ giác AEHF, KFHI, NIHE là các tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH, KH, NH

2 3 3

.

3

3

3



Ta có AI = AK. Sin60

⁰

suy ra AH = Từ đó AH = HK = HN =

³

Tương tự với ba tam giác đều còn lại, tam giác ABC được chia thành 12 tứ giác nội tiếp đường tròn đường kínhđều bằng

³

Vì có 13 điểm thuộc tam giác ABC nên ít nhất có 2 điểmthuộc một trong số các tứ giác nội tiếp nói trên và đó chính là hai điểm mà khoảng cách giữa chúng 

³