1. ĐƯỜNG THẲNG SIMSON BÀI TOÁN 1. CHO TAM GIÁC ABC NỘI TIẾP ĐƯỜNG...

7.1. ĐƯỜNG THẲNG SIMSON

Bài toán 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . M là điểm tùy ý trên ( ) O ;

gọi D E H , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC CA AB , , . Chứng minh rằng

D E H thẳng hàng.

, ,

Giải. Không mất tính tổng quát, giả sử M thuộc cung BC ^ không chứa A .

MD ^ BC ME ^ AC  MDEC là tứ giác nội tiếp  EMC ^ = EDC ^ . (1)

,

MH ^ AB MD ^ BC  MHBD là tứ giác nội tiếp

 

 = . (2)

HMB HDB

ABMC nội tiếp ^{ MBH  = MCA } .

Mà MBH ^ + HMB ^ = MCA ^ + EMC ^ = 90

 EMC ^ = HMB ^ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra HDB ^ = EDC ^  H D E , , thẳng hàng.

Đường thẳng qua H D E , , có tên là đường thẳng Simson của

tam giác ABC ứng với điểm M (hay đường thẳng Wallace).

Bài toán 2. Cho tam giác ABC , M là điểm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC .

Gọi D E H , , lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh BC CA AB , , và D E H , , thẳng

hàng. Chứng minh M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Giải. Theo giả thiết, MD ^ BC ME , ^ CA MH , ^ AB , và D E H , , thẳng hàng, suy ra

A

tứ giác MDBH nội tiếp  HMB ^ = HDB ^ (chắn cung HB ^ ),

HDB = EDC (đối đỉnh), EDC ^ = EMC ^ (chắn cung EC ^ )

E

   

 =  = (1)

HMB EMC EMH BMC

B

C

D

Tứ giác ^AEMH nội tiếp  + A ^ EMH ^ = 180

(2)

H

M

Từ (1), (2)  + A ^ BMC ^ = 180

. Suy ra tứ giác ABMC nội

tiếp  M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Từ bài toán trên ta có kết quả: “Cho tam giác ^ABC , ^M là điểm trong mặt phẳng

chứa tam giác và không trùng với các đỉnh. Gọi D E H , , là hình chiếu của M trên ba

cạnh của tam giác ABC . Điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC là D E H , , thẳng hàng”.

Như vậy, với mỗi điểm M có một đường thẳng Simson đối

A

với tam giác ^ABC cho trước.