CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI XÁC ĐỊNH M ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH SAU CÓ NGHIỆM TH...
Bài 12: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI
Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 x 1 = x + m
Giải
Đặt t = x 1
. Điều kiện t 0
Phương trình đã cho trở thành : 2t = t
2
– 1 + m m = t
2
+ 2t + 1
Xét hàm số y = t
2
+ 2t + 1, t 0. Ta có y' = 2t + 2 và y' = 0 t = 1.
t 0
1
+
y'
+ 0
y
2
1
Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi và
chỉ khi m 2.
Vấn đề 3:CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A. TỔNG QUÁT
1. Hàm số f có cực trị y' đổi dấu.
2. Hàm số f không có cực trị y' không đổi dấu.
3. Hàm số f chỉ có một cực trị y' đổi dấu 1 lần.
4. Hàm số f có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) y' đổi dấu 2 lần.
5. Hàm số f có 3 cực trị y' đổi dấu 3 lần.
f (x ) 0
6. Hàm số f đạt cực đại tại x
0
nếu
0
f (x ) 0
0
7. Hàm số f đạt cực tiểu tại x
0
nếu
0
8. Hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại x
0
f (x ) 0
0
9. Hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại x = x
0
0
f(x ) c
Chú ý : Đối với một hàm số bất kì, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm
mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định.
B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3
y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, y' = 3ax
2
+ 2bx + c.
1. Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm cùng một phía đối với Ox
a 0
y 0
Hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu
y .y
0
CĐ CT
2. Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đối với Ox
Hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu
3. Cho đường thẳng d: Ax + By + C = 0
Gọi M
1
(x
1
; y
1
) và M
2
(x
2
; y
2
) là điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
Khoảng cách đại số từ M
1
và M
2
đến đường thẳng d là :
Ax
By
C
t
1
=
1
1
2
2
A
B
t
2
=
2
2
Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu ở hai phía của d
y 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x
1
2
t .t
0
1 2
Đồ thị có 2 điểm cực trị cùng phía đối với một đường thẳng d
4. Hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa hệ thức F(x
1,
x
2
) = 0 (1)
Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là:
y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
a 0
điều kiện của m
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
x
x
b
1
2
a
x
1
và x
2
thỏa hệ thức (1)
x .x
c
a
Hệ thức (1)
Giải hệ suy ra m. So với điều kiện nhận hay loại giá trị của m.
5. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
Lấy y chia cho y' giả sử ta được: y = (ux + v).y' + mx + n (*)
Gọi A(x
0
; y
0
) là cực trị của đồ thị thì y'(x
0
) = 0 và tọa độ điểm A thỏa phương
trình (*): y
0
= (ux
0
+ v).y'(x
0
) + mx
0
+ n y
0
= mx
0
+ n.
Do đó đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị có phương trình y = mx + n
C. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG
y = ax
4
+ bx
2
+ c
y' = 4ax
3
+ 2bx
x 0
y' = 0 2x(2ax
2
+ b) = 0
2ax
b 0
(1)
2
Hàm số có 3 cực trị (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 a.b < 0.
Hàm số có đúng một cực trị
(1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có nghiệm bằng 0
a 0 và b 0
a 0 và ab 0
Chú ý : Nếu đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương có 3 cực trị thì 3 cực trị này
luôn tạo thành một tam giác cân tại đỉnh nằm trên trục tung.
ax +bx +c
2
D. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ y =
b x +c
2
ab'x
2ac'x bc' cb'
y' =
b'x c'
,
y' = 0 g(x) = ab'x
2
+ 2ac'x + bc' – cb' = 0 (b'x +c' 0)
1. Hàm số có cực đại và cực tiểu y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
ab 0
g 0
( Khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt thì hiển nhiên 2 nghiệm đó thỏa b'x +c' 0)
2. Hàm số không có cực trị y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
3. Đồ thị có 2 điểm cực trị ở cùng một phía đối với Ox
hoặc
g 0
g 0
y 0 có 2 nghiệm phân biệt
CĐ CT
4. Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm về hai phía đối với Ox
hoặc
ab 0
y 0 vô nghiệm
5. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số hữu tỉ
y =
ax
2
bx c
u(x)
a x b
v(x)
(*) y' =
u v v u
2
v
Gọi A(x
0
; y
0
) là cực trị của đồ thị thì
u(x )
y
v(x )
Tọa độ điểm A thỏa phương trình (*):
0
0
u x v x
v x u x
0
0
0
0
v x
0
y'(x
0
) = 0
2
0
u x v x
0
0
v x u x
0
0
u x
u x
y
a
0
0
0
2ax
0
b
v x
v x
0
0
Vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị có phương trình
y
2ax b
a
.
B. ĐỀ THI
Bạn đang xem bài 12: - Luyện thi đại học môn Toán chuyên đề Khảo sát hàm số
