CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ 1

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị ( ) : C y x 

⁴

 2 x

²

 3 và trục hồnh.

Hướng dẫn giải

           

2

x x x x x

2 3 0 1 1 1.

4 2

Phương trình hồnh độ giao điểm:

  

3

x

Vậy cĩ hai giao điểm: A   1;0 , 1;0 .    B

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x

⁴

 2 x

²

   m 3 0 cĩ bốn nghiệm phân biệt.

Phương trình: ^x

⁴

^{ 2 x}

²

^{    m 3 0 x}

⁴

^{ 2 x}

²

^{  3 m}   ¹

Phương trình   ¹ là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường

  ^{C : y x }

⁴

^{ 2 x}

²

^{ 3} và đường thẳng d y m :  . Số nghiệm của   ¹ bằng số giao điểm

của   ^{C và d .}

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số y x 

⁴

 2 x

²

 3 .

Tập xác định D   .

 

0

           

4 4 ; 0 4 4 0 1

y x x y x x x

.

Đạo hàm

^{3 3}

  

1



Bảng biến thiên:

–∞ 0 +∞

– 0 + 0 – 0 +

+∞

+∞

2 3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy   ¹ cĩ bốn nghiệm phân biệt    2 m 3 . Vậy 2   m 3

thỏa yêu cầu bài tốn.

Ví dụ 3: Cho hàm số y x 

⁴

 ²  m  ¹  x

²

 m

²

 ³ m  ²   C

m

. Định m để đồ thị (C

m

) cắt

đường thẳng d y :   2 tại bốn điểm phân biệt.

Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( C

_m

) và d :

     

4

2 1

2 2

3 2 2

4

2 1

2 2

3 0 1

x  m  x  m  m     x  m  x  m  m  .

Đặt ^{t  x}

²

 ^{t  0}  , phương trình trở thành

   

2

 2  1 

2

 3  0 2

t m t m m .

( C

_m

) và d cĩ bốn giao điểm ^   ¹ cĩ bốn nghiệm phân biệt ^   ² cĩ hai nghiệm dương

phân biệt.

5 1 0 1

  

m m



  

       

' 0 5 1 0

 

P m m m m m

                         

0 3 0 0, 3 5

 

0 2 1 0 1 3

S m m m



 

       

m thỏa yêu cầu bài tốn.

Vậy ^{1 ;0}  ^3; 

5

Ví dụ 4: Cho hàm số ^{y x }

⁴

^  ^{3 m  2}  ^x

²

^{ 3 m C}   . Tìm m để đường thẳng d y :   1

cắt đồ thị ( ) C tại bốn điểm phân biệt cĩ hồnh độ đều nhỏ hơn 2.

Phương trình hồnh độ giao điểm của ( ) C và d : y   1 là

4

3 2

2

3 1

4

3 2

2

3 1 0

x  m  x  m    x  m  x  m   .

Đặt ^{t  x t}

²

 ^{ 0}  , ta cĩ phương trình

t m t m t

         

2

1

3 2 3 1 0

3 1

t m

  

  

          ^và m  0 .

Khi đĩ

 

3 1 1 3

m

x m

 . Yêu cầu bài tốn 0 3 1 4 1 1

   và m  0 thỏa yêu cầu bài tốn.

3 m 1

Vậy 1

Ví dụ 5: Cho hàm số ^{y x }

⁴

^  ^{3 m  4}  ^x

²

^{ m}

²

cĩ đồ thị là   C

m

. Tìm m để đồ thị   C

m

cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt cĩ hồnh độ lập thành một cấp số cộng.

Phương trình hồnh độ giao điểm: ^x

⁴

^  ^{3 m  4}  ^x

²

^{ m}

²

^{ 0}   ¹

Đặt t x 

²

 ^{t  0}  , phương trình   ¹ trở thành: ^t

²

^  ^{3 m  4}  ^{t m }

²

^{ 0}   ²

  C

m

cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt    ¹ cĩ bốn nghiệm phân biệt

    

5 24 16 0

  

   ² cĩ hai nghiệm dương phân biệt 

P m

    

3 4 0

S m

     

4 4

  

4

 



 

(*)



  

  

Khi đĩ phương trình   ² cĩ hai nghiệm 0   t

₁

t

₂

. Suy ra phương trình   ¹ cĩ bốn nghiệm

phân biệt là x

₁

  t

₂

 x

₂

  t

₁

 x

₃

 t

₁

 x

₄

 t

₂

. Bốn nghiệm x x x x

₁

, , ,

_{2 3 4}

lập

thành cấp số cộng

 x

₂

  x

₁

x

₃

 x

₂

 x

₄

 x

₃

  t

₁

 t

₂

 2 t

₁

 t

₂

 3 t

₁

  t

₂

9 t

₁

(3)

  

  

3 4 (4)

t t m

Theo định lý Viet ta cĩ

^{1 2} ₂

(5)

t t m



1 2

  

3 4

  

1

10

  ^{6 .}

Từ   ^{3 và}   ⁴ ta suy ra được

9 3 4

  

Thay   ^{6 vào}   ^{5 ta được 9}  ^{3 4} 

^{2 2}

100 m   m

m m m

3 3 4 10 12

 

  

      

  

(thỏa (*))

 

19

12; .

Vậy giá trị m cần tìm là 12

   19

y cx d

III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ax b

