PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH
1. Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình:
F x
f x g x
f x
0
.
0
0
0
g x
Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng:
a
2
b
2
0,
a
3
b
3
0,...
Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu
x
a
là một nghiệm của phương trình
f x
0
thì ta luôn có sự phân tích:
f x
x a g x
. Để dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:
Chú ý:
Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình bậc bốn.
hoc360.ne t
Đặc biệt đối với phương trình bậc 4: Ta có thể sử dụng một trong các cách xử lý sau:
Phương trình dạng:
x
4
ax
2
bx
c
Phương pháp: Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng:
2mx
2
m
2
khi đó phương trình trở thành:
2
2
2
2
(
x
m
)
(2
m a x
)
bx c
m
Ta mong muốn vế phải có dạng:
(
Ax
B
)
2
m a
m
2
0
2
2
b
m a c m
4(2
)(
)
0
Phương trình dạng:
x
4
ax
3
bx
2
cx
d
2
x
a
x
m
Ta sẽ tạo ra ở vế phải một biểu thức bình phương dạng:
Bằng cách khai triển biểu thức:
a
a
2
4
3
2
2
. Ta thấy cần thêm vào hai vế một lượng:
2
2
4
x
x
m
x
ax
m
x
amx
m
m
a
x
amx
m
2
4
khi đó phương trình trở thành:
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
2
2
2
2
(
)
x
x
m
m
b x
am c x
m
d
m
a
b
4
?
a
m
Bây giờ ta cần:
(
)
4 2
0
am c
m
b
m
d
VP
4
Ta sẽ phân tích để làm rõ cách giải các bài toán trên thông qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1)
Giải các phương trình:
a)
x
4
10
x
2
x
20
0
.
b)
x
4
22
x
2
8
x
77
0
c)
x
4
6
x
3
8
x
2
2
x
1
0
.
d)
x
4
2
x
3
5
x
2
6
x
3
0
.
Lời giải:
a)
x
4
10
x
2
x
20
0
x
4
10
x
2
x
20
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng:
2mx
2
m
2
Khi đó phương trình trở thành:
x
4
2
mx
2
m
2
(10 2 )
m x
2
x
m
2
20
Ta có
1 4(
2
20)(10 2 )
0
9
. Ta viết lại phương trình thành:
VP
m
m
m
2
4
2
9
2
1
2
9
1
9
0
x
x
x
x
x
x
2
4
2
2
2
2
1
17
. và
1
21
.
(
5)(
4)
0
x
x
x
x
x
2
x
2
b)
x
4
22
x
2
8
x
77
0
x
4
22
x
2
8
x
77
Khi đó phương trình trở thành:
x
4
2
mx
2
m
2
(22 2 )
m x
2
8
x
m
2
77
.
Ta có
VP
1 4(22
2 )(
m m
2
77)
0
m
9
.
Ta viết lại phương trình thành:
2
2
4
2
2
2
18
81
4
8
4
9
2
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
1 2 2
(
2
7)(
2
11)
0
1 2 3
x
c)
Phương trình có dạng:
x
4
6
x
3
8
x
2
2
x
1
0
x
4
6
x
3
8
x
2
2
x
1
Ta tạo ra vế trái dạng:
(
x
2
3
x
m
)
2
x
4
6
x
3
(9 2 )
m x
2
6
mx
m
2
Tức là thêm vào hai vế một lượng là:
(9 2 )
m x
2
6
mx
m
2
phương trình trở thành:
(
x
3
x
m
)
(2
m
1)
x
(6
m
2)
x
m
1
. Ta cần
'
VP
(3
m
1) (2
m
1)(
m
2
1)
0
m
0
. Phương trình trở thành:
(
x
2
3 )
x
2
(
x
1)
2
2
3
(
4
1)(
2
1)
0
1
2
d)
Phương trình đã cho được viết lại như sau:
x
4
2
x
3
5
x
2
6
x
3
Ta tạo ra phương trình:
(
x
2
x
m
)
2
(2
m
6)
x
2
(2
m
6)
x
m
2
3
2
6
0
m
m
Ta cần:
'
VP
(
3)
(2
6)(
3)
0
1
m
m
m
Phương trình trở thành:
(
x
2
x
1)
2
(2
x
2)
2
3
21
(
3
3)(
1)
0
2
x
x
x
x
Ví dụ 2)
a)
Giải phương trình:
x
4
4
x
2
12
x
9
0
(1).
b)
Giải phương trình:
x
4
13
x
2
18
x
5
0
c)
Giải phương trình:
2
x
4
10
x
3
11
x
2
x
1
0
(4)
Lời giải:
a)
Ta có phương trình
x
4
2
x
3
2
0
(1.1)
2
3
0
x
x
2
3
2
3
0
1;
3
x
x
x
x
x
x
. Vậy phương trình có hai
nghiệm
x
1;
x
3
b)
Phương trình
x
4
4
x
2
4
9
x
2
18
x
9
0
3
29
x
x
x
3
5
0
2
x
2
2
2
3
x
3
2
0
x
2
3
x
5
x
2
3
x
1
0
3
1
0
3
5
x
x
.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm
3
29
;
3
5
c)
Ta có phương trình
2
5
1
1
2
3
9
1
3
2
1
2
2
3
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
4
4
4
16
2
4
2
2
4
1
0
2
.
3
1
0
3
13