2. Nâng cao
a) Các tính ch ất khác về chia hết ( hay chia dư) đối với số tự nhiên vẫn đúng với số nguyên
b) N ếu số a có m ước tự nhiên thì sẽ có thêm m ước là các số nguyên âm (là các số đối của các
ước tự nhiên). Vậy a có 2m ước nguyên.
II. M ỘT SỐ VÍ DỤ
Ví d ụ 1: Tìm t ất cả các ước chung của – 12 và 30.
Gi ải
T ập hợp các ước của
−12và 30 là:
Ư
( 12)− =Ư
(12)= −{
12; 6; 4; 3; 2; 1;1; 2;3; 4; 6;12− − − − − }
Ho ặc viết góp: Ư
( 12)− = ± ± ± ± ± ±{
1; 2; 3; 4; 6; 12}
Ư
(30)= ± ± ± ± ± ±{
1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 .± ± }
Suy ra t ập hợp các ước chung của
−12 và 30 là:
ƯC
( 12;30)− = ± ± ± ±{
1; 2; 3; 6} .
Nh ận xét:
Ước chung của
−12 và 30 là ước chung của ƯCLN
(12, 30)=6, nên:
ƯC
( 12, 30)− =Ư (6)
Ví d ụ 2. Tìm
x∈sao cho:
a)
x 5− là b ội của x + 2. b) x – 2 là ước của 3x + 5.
Gi ải
a) Vì
x 5− =(x+ −2) 7 nên
(x−5) (x +2)⇔7 (x +2)Suy ra:
x+ ∈2 Ư
(7)= ± ±{
1; 7 .}
Ta có b ảng giá trị sau:
x + 2 -7 -1 1 7
x -9 -3 -1 5
V ậy
x∈ − − −{
9; 3; 1;5} .
b) Vì
3x+ =5 (3x− + =6) 11 3(x 2) 11− +nên
(3x+5) (x −2)⇔11 (x −2).Suy ra:
x− ∈2 Ư
(11)= ± ±{
1; 11} .
x – 2 -11 -1 1 11
x -9 1 3 13
V ậy
x∈ − −{
9; 1;3; 13− }
Nh ận xét:
Ta có th ể giải bài toán trên theo cách đã học ở chương I. Chẳng hạn, đối với câu b). ta có:
Vì
(3x+5) (x −2)và
3(x−2) (x −2)Nên
(
3x 5+ −)
3(x 2) (x 2)− −⇔ + − + −(3x 5 3x 6) x 2⇔ −11 (x 2).Sau đó tiếp tục lập luận tương tự như trên.
Ví d ụ 3. Cho
x, y∈. Ch ứng minh: 6x + 11y là bội của 31 khi và chỉ khi x + 7y là bội của 31.
Ta có:
(6x 11y) 6(x+ − +7y)=6x 11y 6x+ − −42y
=(6x−6y) (11y 42 y)+ −= − 31y 31Suy ra:
(6x 11y) 31+ ⇔6(x+7y) 31 (tính ch ất chia hết của một tổng)
⇔(x+7y) 31 (vì 6 và 31 nguyên t ố cùng nhau).
V ậy
6x 11y+ là b ội của 31 khi và chỉ khi
x+7y là b ội của 31.
Cách gi ải trên gọi là phương pháp “khử x”: Ta thấy số thứ nhất có số hạng 6x, số thứ hai có số
h ạng x. Vậy để triệt tiêu hết x, ta nhân 6 vào số thứ hai và xét hiệu với số thứ nhất.
Tương tự, ta cũng có phương pháp “khử” :
7(6x 11y) 11(x 7 y)+ − + =42 x 77 y 11x 77 y+ − − =31x 31.Sau đó lập luận tương tự như trên.
III. BÀI T ẬP
Bạn đang xem 2. - Chuyên đề số nguyên -
