CHO TAM GIÁC ABC CÓ BA GÓC NHỌN NỘI TIẾP TRONG ĐƯỜNG TRÒN TÂM O (AB &...

Câu 5 : (4 điểm) :

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O (AB <

BC). Vẽ đường tròn tâm I qua hai điểm A và C cắt đoạn AB, BC lần lượt

tại M, N. Vẽ đường tròn tâm J qua ba điểm B, M, N cắt đường tròn tâm

(O) tại điểm H (khác B)

a) Chứng minh OB vuông góc với MN

b) Chứng minh IOBJ là hình bình hành

c) Chứng minh BH vuông góc với IH

a) Chứng minh OB vuông góc với MN

x

B

H

J N

M

O

A C

I

Dựng tiếp tuyến Bx tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC thì Bx ⊥

OB. Ta chứng minh Bx // MN

Ta có góc xBN= góc BAC (cùng chắn cung BC của đường tròn (O))

Góc BAC= góc BNM (do tứ giác AMNC nội tiếp)

Suy ra : góc xBN= góc BNM

Suy ra : MN // Bx (2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau) (đpcm)

b) Chứng minh IOBJ là hình bình hành

Chứng minh tương tự như câu a, ta có: BJ ⊥AC

Vì IJ là là đường nối tâm của (I) và (J) nên IJ ⊥ MN

 ⊥ ⇒

OB IJ

OB MN //

 ⊥  (1)

IJ MN

Vì

Chứng minh tương tự ta có OI // BJ (2)

Từ (1) và (2) suy ra IOBJ là hình bình hành

c) Gọi F là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành IOBJ thì F là trung

điểm BI và F ∈ OJ.

Vì BH là dây chung và OJ là đường nối tâm của (O) và (J) nên OJ là trung

trực của BH ==> OJ cắt BH tại trung điểm E của BH ==> EF BH.

Vì EF là đường trung bình của tam giác BHI nên EF // HI

Suy ra IH BH (đpcm)