2 = 2 ⇔ D = ±2 √VẬY (R)

Question

2.2 = 2 ⇔ D = ±2 √Vậy (R) : x − z + 2 √2 = 0 hoặc (R) : x − z − 2 √2 = 0.Bài tập 6.32. (B-09) Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (1; 2; 1) , B (−2; 1; 3),C (2; −1; 1), D (0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P)bằng khoảng cách từ D đến (P ).0 .Lời giải. Giả sử (P ) có vectơ pháp tuyến − → n = (a; b; c) 6= − →Mặt phẳng (P ) qua A nên có phương trình dạng ax + by + cz − a − 2b − c = 0.Ta có B ∈ (P ) nên b = 2c − 3a ⇒ (P ) : ax + (2c − 3a)y + cz + 5a − 5c = 0. 7a = 4c⇔Lại có d (C, (P )) = d (D, (P)) ⇔ |10a − 6c|= |−4a + 2c|q3a = 2c .a 2 + (2c − 3a) 2 + c 2Với 7a = 4c, chọn a = 4, c = 7 ta có (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = 0.Với 3a = 2c, chọn a = 2, c = 3 ta có (P ) : 2x + 3z − 5 = 0.Vậy (P) : 4x + 2y + 7z − 15 = 0 hoặc (P ) : 2x + 3z − 5 = 0.Bài tập 6.33. (B-07) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 vàmặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − 14 = 0.a) Viết phương trình (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính bằng 3.b) Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P ) là lớn nhất.Lời giải.a) Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2; −1) và bán kính R = 3, trục Ox có vectơ chỉ phương −−→ u Ox = (1; 0; 0).Vì (Q) cắt (S) theo đường tròn có bán kính bằng 3 = R nên (Q) qua I ⇒ −→OI = (1; −2; −1).Mặt phẳng (Q) nhận h −→OI, −−→ u Ox i= (0; −1; 2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x − 2y = 0.b) Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến −−→ n (P ) = (2; −1; 2).x = 1 + 2t .Gọi ∆ là đường thẳng qua I(1; −2; −1) và vuông (P ) ⇒ ∆ có phương trìnhy = −2 − t z = −1 + 2tĐiểm M cần tìm là một trong hai giao điểm của (S) và đường thẳng ∆.x = −1y = −1 z = −3⇒Tọa độ giao điểm của ∆ và (S) thỏa mãn hệx = 3y = −3x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0z = 1Do đó ∆ cắt (S) tại M 1 (−1; −1; −3) và M 2 (3; −3; 1).Vì d(M 1 , (P )) > d(M 2 , (P )) nên điểm cần tìm là M (−1; −1; −3).Bài tập 6.34. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 1) , B (2; −1; 1) , C (4; 1; 1) và mặt phẳng−−→ M A + 2 −−→M C(P ) : x + y + z − 6 = 0. Tìm điểm M trên (P ) sao choM B + −−→ đạt giá trị nhỏ nhất.Lời giải. Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến −−→ n (P ) = (1; 1; 1).Gọi I là trung điểm AC ⇒ I(2; 1; 1) và gọi K là trung điểm BI ⇒ K(2; 0; 1).−−→ M KTa cóM I + 2 −−→ = 4 2 − − → = .Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của K trên (P ).x = 2 + tĐường thẳng KM có phương trìnhy = tz = 1 + ty = 1Tọa độ M hỏa mãn hệ. Vậy M (3; 1; 2).z = 2x + y + z − 6 = 0t = 1Bài tập 6.35. (A-03) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có A trùng gốctoạ độ O, B (a; 0; 0), D (0; a; 0) , A 0 (0; 0; b) , (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC 0 .a) Tính thể tích khối tứ diện BDA 0 M .b) Xác định tỉ số ab để (A 0 BD) vuông góc với (M BD).a) Ta có C(a; a; 0), C 0 (a; a; b) ⇒ Ma; a; b2 ab⇒ h −−→Khi đó −−→BA 0 = (−a; 0; b).BM =BD, −−→BM i=BD = (−a; a; 0), −−→, −−→0; a; b2 ; −a 22 ; abi −−→h −−→BA 0BMDo đó V BDA0M = 16 = a 2 b

Answer

2.2 = 2 ⇔ D = ±2 √Vậy (R) : x − z + 2 √2 = 0 hoặc (R) : x − z − 2 √2 = 0.Bài tập 6.32. (B-09) Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (1; 2; 1) , B (−2; 1; 3),C (2; −1; 1), D (0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P)bằng khoảng cách từ D đến (P ).0 .Lời giải. Giả sử (P ) có vectơ pháp tuyến − → n = (a; b; c) 6= − →Mặt phẳng (P ) qua A nên có phương trình dạng ax + by + cz − a − 2b − c = 0.Ta có B ∈ (P ) nên b = 2c − 3a ⇒ (P ) : ax + (2c − 3a)y + cz + 5a − 5c = 0. 7a = 4c⇔Lại có d (C, (P )) = d (D, (P)) ⇔ |10a − 6c|= |−4a + 2c|q3a = 2c .a 2 + (2c − 3a) 2 + c 2Với 7a = 4c, chọn a = 4, c = 7 ta có (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = 0.Với 3a = 2c, chọn a = 2, c = 3 ta có (P ) : 2x + 3z − 5 = 0.Vậy (P) : 4x + 2y + 7z − 15 = 0 hoặc (P ) : 2x + 3z − 5 = 0.Bài tập 6.33. (B-07) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 vàmặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − 14 = 0.a) Viết phương trình (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo đường tròn có bán kính bằng 3.b) Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P ) là lớn nhất.Lời giải.a) Mặt cầu (S) có tâm I (1; −2; −1) và bán kính R = 3, trục Ox có vectơ chỉ phương −−→ u Ox = (1; 0; 0).Vì (Q) cắt (S) theo đường tròn có bán kính bằng 3 = R nên (Q) qua I ⇒ −→OI = (1; −2; −1).Mặt phẳng (Q) nhận h −→OI, −−→ u Ox i= (0; −1; 2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x − 2y = 0.b) Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến −−→ n (P ) = (2; −1; 2).x = 1 + 2t .Gọi ∆ là đường thẳng qua I(1; −2; −1) và vuông (P ) ⇒ ∆ có phương trìnhy = −2 − t z = −1 + 2tĐiểm M cần tìm là một trong hai giao điểm của (S) và đường thẳng ∆.x = −1y = −1 z = −3⇒Tọa độ giao điểm của ∆ và (S) thỏa mãn hệx = 3y = −3x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0z = 1Do đó ∆ cắt (S) tại M 1 (−1; −1; −3) và M 2 (3; −3; 1).Vì d(M 1 , (P )) > d(M 2 , (P )) nên điểm cần tìm là M (−1; −1; −3).Bài tập 6.34. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 1) , B (2; −1; 1) , C (4; 1; 1) và mặt phẳng−−→ M A + 2 −−→M C(P ) : x + y + z − 6 = 0. Tìm điểm M trên (P ) sao choM B + −−→ đạt giá trị nhỏ nhất.Lời giải. Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến −−→ n (P ) = (1; 1; 1).Gọi I là trung điểm AC ⇒ I(2; 1; 1) và gọi K là trung điểm BI ⇒ K(2; 0; 1).−−→ M KTa cóM I + 2 −−→ = 4 2 − − → = .Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của K trên (P ).x = 2 + tĐường thẳng KM có phương trìnhy = tz = 1 + ty = 1Tọa độ M hỏa mãn hệ. Vậy M (3; 1; 2).z = 2x + y + z − 6 = 0t = 1Bài tập 6.35. (A-03) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có A trùng gốctoạ độ O, B (a; 0; 0), D (0; a; 0) , A 0 (0; 0; b) , (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC 0 .a) Tính thể tích khối tứ diện BDA 0 M .b) Xác định tỉ số ab để (A 0 BD) vuông góc với (M BD).a) Ta có C(a; a; 0), C 0 (a; a; b) ⇒ Ma; a; b2 ab⇒ h −−→Khi đó −−→BA 0 = (−a; 0; b).BM =BD, −−→BM i=BD = (−a; a; 0), −−→, −−→0; a; b2 ; −a 22 ; abi −−→h −−→BA 0BMDo đó V BDA0M = 16 = a 2 b