VẬY (S) CÓ PHƯƠNG TRÌNH (X − 1) 2 + (Y + 4) 2 + (Z − 5) 2 = 44.B) G...

Question

11.Vậy (S) có phương trình (x − 1) 2 + (y + 4) 2 + (z − 5) 2 = 44.b) Gọi (P ) là mặt phẳng trung trực của EF và I là trung điểm của EF ⇒ I (2; −1; 6)Mặt phẳng (P ) qua I(2; −1; 6) và nhận − − →EF = (2; 6; 2) làm vectơ pháp tuyến.Vậy (P) có phương trình: 2(x − 2) + 6(y + 1) + 2(z − 6) = 0 ⇔ x + 3y + z − 5 = 0.Bài tập 6.21. (CĐ-09) Trong không gian Oxyz, cho (P 1 ) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P 2 ) : 3x + 2y − z + 1 = 0.Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A (1; 1; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P 1 ) , (P 2 ).Lời giải. Mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 ) lần lượt có vectơ pháp tuyến − n −− (P →1) = (1; 2; 3), − n −− (P →2) = (3; 2; −1).= (−8; 10; −4) làm vectơ pháp tuyến.Ta có (P )⊥(P 1 ) và (P )⊥(P 2 ) nên nhận − n −− (P →1) , − n −− (P →2) Lại có (P ) qua A(1; 1; 1) nên có phương trình: −8(x −1)+10(y −1)−4(z−1) = 0 ⇔ 4x −5y +2z−1 = 0.Bài tập 6.22. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (5; 1; 3) , B (1; 6; 2) , C (5; 0; 4) , D (4; 0; 6).a) Viết phương trình các mặt phẳng (ACD) và (BCD).b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.Lời giải.= (−2; −1; −1).a) Ta có: −→AC = (0; −1; 1), − − →AD = (−1; −1; 3) ⇒ h −→AC, − − →AD ih −→i= (−2; −1; −1) làm vectơ pháp tuyến.ADMặt phẳng (ACD) qua A(5; 1; 3) và nhậnDo đó (ACD) có phương trình: −2(x − 5) − (y − 1) − (z − 3) = 0 ⇔ 2x + y + z − 14 = 0.= (−12; −10; −6).Tương tự: − − →BC = (4; −6; 2), −−→BD = (3; −6; 4) ⇒ h − − →BC, −−→BD= (−12; −10; −6) làm vectơ pháp tuyến.Mặt phẳng (BCD) qua B(1; 6; 2) và nhận h − − →BD iDo đó (BCD) có phương trình: −12(x − 1) − 10(y − 6) − 6(z − 2) = 0 ⇔ 6x + 5y + 3z − 42 = 0.b) Ta có: − − →AB = (−4; 5; −1), −−→CD = (−1; 0; 2) ⇒ h − − →AB, −−→CD= (10; 9; 5).h − − →Mặt phẳng (α) qua A(5; 1; 3) và nhận= (10; 9; 5) làm vectơ pháp tuyến.Vậy (α) có phương trình: 10(x − 5) + 9(y − 1) + 5(z − 3) = 0 ⇔ 10x + 9y + 5z − 74 = 0.Bài tập 6.23. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (−2; 6; 3) , B (1; 0; 6) , C (0; 2; −1) , D (1; 4; 0).a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.c) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song với CD.a) Ta có: − − →BC = (−1; 2; −7), −−→BD = (0; 4; −6) ⇒ h − − →= (16; −6; −4).= (16; −6; −4) làm vectơ pháp tuyến.Mặt phẳng (BCD) qua B(1; 0; 6) và nhậnDo đó (BCD) có phương trình: 16(x − 1) − 6y − 4(z − 6) = 0 ⇔ 8x − 3y − 2z + 4 = 0.Nhận thấy A / ∈ (BCD) nên ABCD là một tứ diện.√ 64 + 9 + 4 = 36√ 77 .b) Ta có: AH = d (A, (BCD)) = |−16 − 18 − 6 + 4|= (−12; 0; 12).CD = (1; 2; 1) ⇒ h − − →c) Ta có: − − →AB = (3; −6; 3), −−→= (−12; 0; 12) làm vectơ pháp tuyến.CD iMặt phẳng (α) qua A(−2; 6; 3) và nhận h − − →Vậy (α) có phương trình: −12(x + 2) + 12(z − 3) = 0 ⇔ x − z + 5 = 0.Bài tập 6.24. (CĐ-2011) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 2; 3) , B (1; 0; −5) và mặt phẳng(P ) : 2x + y − 3z − 4 = 0. Tìm điểm M thuộc (P ) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng.Lời giải. Gọi M (x; y; z), ta có: − − →AB = (2; −2; −8), −−→AM = (x + 1; y − 2; z − 3).x = 02x + y − 3z − 4 = 0( M ∈ (P )⇔−−→ AM = k − − →x + 1Theo giả thiết ta có:y = 1. Vậy M(0; 1; −1).AB ⇔−2 = z − 3−8z = −12 = y − 2Bài tập 6.25. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng(β ) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 2 = 0.Lời giải. Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính r = 4.Vì (α) k (β) nên có phương trình dạng 4x + 3y − 12z + d = 0 (d 6= 1). d = 78√ 16 + 9 + 144 = 4 ⇔Mặt khác (α) tiếp xúc với (S) nên d (I; (α)) = r ⇔ |4 + 6 − 36 + d|d = −26 .Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là (α) : 4x + 3y − 12z + 78 = 0 hoặc (α) : 4x + 3y − 12z − 26 = 0.Bài tập 6.26. (D-04) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 0; 1) , B (1; 0; 0) , C (1; 1; 1) và (P ) :x + y + z − 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc (P ).Lời giải. Gọi (S) là mặt cầu cần tìm và tâm (S) là I (x; y; z), ta có:− →AI = (x − 2; y; z − 1) ⇒ AI = px 2 + y 2 + z 2 − 4x − 2z + 5.−→ BI = (x − 1; y; z) ⇒ BI = px 2 + y 2 + z 2 − 2x + 1.CI = (x − 1; y − 1; z − 1) ⇒ CI = px 2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 2z + 3.Vì (S) qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc (P ) : x + y + z − 2 = 0 nên ta có hệ:x = 1I ∈ (P )x + y + z − 2 = 0−4x − 2z + 5 = −2x + 1AI = BIy = 0−4x − 2z + 5 = −2x − 2y − 2z + 3AI = CIz = 1Khi đó r = AI = 1 ⇒ mặt cầu (S) có phương trình: (x − 1) 2 + y 2 + (z − 1) 2 = 1.Bài tập 6.27. (B-2012) Trong không gian Oxyz, cho A(0; 0; 3), M (1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng(P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đườngthẳng AM.Lời giải. Giả sử (P ) cắt Ox, Oy lần lượt tại B (a; 0; 0) và C(0; c; 0). a⇒ −−→.Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ GAM = (1; 2; −3), −→AG =3 ; b3 ; 13 ; −2 b = 2Vì G ∈ AM nên ta có: b−3 ⇔c = 4 .6 = −23 = cDo đó (P ) có phương trình: x2 + y4 + z3 = 1 ⇔ 6x + 3y + 4z − 12 = 0.Bài tập 6.28. (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 4y − 4z = 0 vàđiểm A (4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.

Answer

11.Vậy (S) có phương trình (x − 1) 2 + (y + 4) 2 + (z − 5) 2 = 44.b) Gọi (P ) là mặt phẳng trung trực của EF và I là trung điểm của EF ⇒ I (2; −1; 6)Mặt phẳng (P ) qua I(2; −1; 6) và nhận − − →EF = (2; 6; 2) làm vectơ pháp tuyến.Vậy (P) có phương trình: 2(x − 2) + 6(y + 1) + 2(z − 6) = 0 ⇔ x + 3y + z − 5 = 0.Bài tập 6.21. (CĐ-09) Trong không gian Oxyz, cho (P 1 ) : x + 2y + 3z + 4 = 0 và (P 2 ) : 3x + 2y − z + 1 = 0.Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A (1; 1; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P 1 ) , (P 2 ).Lời giải. Mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 ) lần lượt có vectơ pháp tuyến − n −− (P →1) = (1; 2; 3), − n −− (P →2) = (3; 2; −1).= (−8; 10; −4) làm vectơ pháp tuyến.Ta có (P )⊥(P 1 ) và (P )⊥(P 2 ) nên nhận − n −− (P →1) , − n −− (P →2) Lại có (P ) qua A(1; 1; 1) nên có phương trình: −8(x −1)+10(y −1)−4(z−1) = 0 ⇔ 4x −5y +2z−1 = 0.Bài tập 6.22. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (5; 1; 3) , B (1; 6; 2) , C (5; 0; 4) , D (4; 0; 6).a) Viết phương trình các mặt phẳng (ACD) và (BCD).b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa cạnh AB và song song với cạnh CD.Lời giải.= (−2; −1; −1).a) Ta có: −→AC = (0; −1; 1), − − →AD = (−1; −1; 3) ⇒ h −→AC, − − →AD ih −→i= (−2; −1; −1) làm vectơ pháp tuyến.ADMặt phẳng (ACD) qua A(5; 1; 3) và nhậnDo đó (ACD) có phương trình: −2(x − 5) − (y − 1) − (z − 3) = 0 ⇔ 2x + y + z − 14 = 0.= (−12; −10; −6).Tương tự: − − →BC = (4; −6; 2), −−→BD = (3; −6; 4) ⇒ h − − →BC, −−→BD= (−12; −10; −6) làm vectơ pháp tuyến.Mặt phẳng (BCD) qua B(1; 6; 2) và nhận h − − →BD iDo đó (BCD) có phương trình: −12(x − 1) − 10(y − 6) − 6(z − 2) = 0 ⇔ 6x + 5y + 3z − 42 = 0.b) Ta có: − − →AB = (−4; 5; −1), −−→CD = (−1; 0; 2) ⇒ h − − →AB, −−→CD= (10; 9; 5).h − − →Mặt phẳng (α) qua A(5; 1; 3) và nhận= (10; 9; 5) làm vectơ pháp tuyến.Vậy (α) có phương trình: 10(x − 5) + 9(y − 1) + 5(z − 3) = 0 ⇔ 10x + 9y + 5z − 74 = 0.Bài tập 6.23. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (−2; 6; 3) , B (1; 0; 6) , C (0; 2; −1) , D (1; 4; 0).a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.c) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và song song với CD.a) Ta có: − − →BC = (−1; 2; −7), −−→BD = (0; 4; −6) ⇒ h − − →= (16; −6; −4).= (16; −6; −4) làm vectơ pháp tuyến.Mặt phẳng (BCD) qua B(1; 0; 6) và nhậnDo đó (BCD) có phương trình: 16(x − 1) − 6y − 4(z − 6) = 0 ⇔ 8x − 3y − 2z + 4 = 0.Nhận thấy A / ∈ (BCD) nên ABCD là một tứ diện.√ 64 + 9 + 4 = 36√ 77 .b) Ta có: AH = d (A, (BCD)) = |−16 − 18 − 6 + 4|= (−12; 0; 12).CD = (1; 2; 1) ⇒ h − − →c) Ta có: − − →AB = (3; −6; 3), −−→= (−12; 0; 12) làm vectơ pháp tuyến.CD iMặt phẳng (α) qua A(−2; 6; 3) và nhận h − − →Vậy (α) có phương trình: −12(x + 2) + 12(z − 3) = 0 ⇔ x − z + 5 = 0.Bài tập 6.24. (CĐ-2011) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 2; 3) , B (1; 0; −5) và mặt phẳng(P ) : 2x + y − 3z − 4 = 0. Tìm điểm M thuộc (P ) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng.Lời giải. Gọi M (x; y; z), ta có: − − →AB = (2; −2; −8), −−→AM = (x + 1; y − 2; z − 3).x = 02x + y − 3z − 4 = 0( M ∈ (P )⇔−−→ AM = k − − →x + 1Theo giả thiết ta có:y = 1. Vậy M(0; 1; −1).AB ⇔−2 = z − 3−8z = −12 = y − 2Bài tập 6.25. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng(β ) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 2 = 0.Lời giải. Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính r = 4.Vì (α) k (β) nên có phương trình dạng 4x + 3y − 12z + d = 0 (d 6= 1). d = 78√ 16 + 9 + 144 = 4 ⇔Mặt khác (α) tiếp xúc với (S) nên d (I; (α)) = r ⇔ |4 + 6 − 36 + d|d = −26 .Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là (α) : 4x + 3y − 12z + 78 = 0 hoặc (α) : 4x + 3y − 12z − 26 = 0.Bài tập 6.26. (D-04) Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (2; 0; 1) , B (1; 0; 0) , C (1; 1; 1) và (P ) :x + y + z − 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc (P ).Lời giải. Gọi (S) là mặt cầu cần tìm và tâm (S) là I (x; y; z), ta có:− →AI = (x − 2; y; z − 1) ⇒ AI = px 2 + y 2 + z 2 − 4x − 2z + 5.−→ BI = (x − 1; y; z) ⇒ BI = px 2 + y 2 + z 2 − 2x + 1.CI = (x − 1; y − 1; z − 1) ⇒ CI = px 2 + y 2 + z 2 − 2x − 2y − 2z + 3.Vì (S) qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc (P ) : x + y + z − 2 = 0 nên ta có hệ:x = 1I ∈ (P )x + y + z − 2 = 0−4x − 2z + 5 = −2x + 1AI = BIy = 0−4x − 2z + 5 = −2x − 2y − 2z + 3AI = CIz = 1Khi đó r = AI = 1 ⇒ mặt cầu (S) có phương trình: (x − 1) 2 + y 2 + (z − 1) 2 = 1.Bài tập 6.27. (B-2012) Trong không gian Oxyz, cho A(0; 0; 3), M (1; 2; 0). Viết phương trình mặt phẳng(P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đườngthẳng AM.Lời giải. Giả sử (P ) cắt Ox, Oy lần lượt tại B (a; 0; 0) và C(0; c; 0). a⇒ −−→.Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ GAM = (1; 2; −3), −→AG =3 ; b3 ; 13 ; −2 b = 2Vì G ∈ AM nên ta có: b−3 ⇔c = 4 .6 = −23 = cDo đó (P ) có phương trình: x2 + y4 + z3 = 1 ⇔ 6x + 3y + 4z − 12 = 0.Bài tập 6.28. (A-2011) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 4y − 4z = 0 vàđiểm A (4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.