26.
Vậy (S) có phương trình x 2 + (y − 7) 2 + (z − 5) 2 = 26.
§2. Phương Trình Mặt Phẳng
Bài tập 6.16. Lập phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau
a) Đi qua ba điểm A (1; 0; 0) , B (0; −2; 0) , C (0; 0; 3).
b) Đi qua ba điểm A (2; −1; 3) , B (4; 2; 1) , C (−1; 2; 3).
c) Đi qua điểm M (2; −1; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x − y + 3z + 4 = 0.
d) Đi qua M (1; 2; 3) và vuông góc AB, biết A (−1; 0; 2) , B (3; 2; 1).
e) Đi qua hai điểm A (3; 1; −1) , B (2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x − y + 3z + 1 = 0.
f) Đi qua M (−2; 3; −1) và vuông góc với hai mặt phẳng (α) : x + 2y + 2z + 1 = 0; (β) : 2x + 3y + z = 0.
g) Đi qua hai điểm M (1; 2; 3) , N (2; −2; 4) và song song với trục Oy.
h) Trung trực của AB, biết A (4; −1; 5) , B (2; 3; 1).
i) Song song với (β) : 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 2 = 0.
Lời giải.
a) Mặt phẳng (P ) qua A(1; 0; 0), B(0; −2; 0), C(0; 0; 3) nên có phương trình đoạn chắn:
x
1 + y
−2 + z
3 = 1 ⇔ 6x − 3y + 2z − 6 = 0
i
AB = (2; 3; −2), −→
= (6; 6; 15).
AC = (−3; 3; 0) ⇒ h − − →
AC
b) Ta có: − − →
AB, −→
h − − →
Mặt phẳng (P ) qua A(2; −1; 3) và nhận
= (6; 6; 15) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (P) có phương trình 6 (x − 2) + 6 (y + 1) + 15 (z − 3) = 0 ⇔ 2x + 2y + 5z − 17 = 0.
c) Mặt phẳng (β) có vectơ pháp tuyến − → n = (2; −1; 3).
Mặt khác (P ) qua M (2; −1; 2) và (P )||(β) nên nhận − → n = (2; −1; 3) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (P) có phương trình: 2(x − 2) − 1(y + 1) + 3(z − 2) = 0 ⇔ 2x − y + 3z − 11 = 0.
d) Mặt phẳng (P ) qua M(1; 2; 3) và (P )⊥AB nên nhận − − →
AB = (4; 2; −1) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (P) có phương trình: 4(x − 1) + 2(y − 2) − (z − 3) = 0 ⇔ 4x + 2y − z − 5 = 0.
e) Ta có: − − →
AB = (−1; −2; 5) và mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến − → n = (2; −1; 3).
= (−1; 13; 5) làm vectơ pháp tuyến.
AB, − → n
Vì (P ) qua A, B và (P )⊥(α) nên nhận
Vậy (P) có phương trình: −(x − 3) + 13(y − 1) + 5(z + 1) = 0 ⇔ x − 13y − 5z + 5 = 0.
f) Mặt phẳng (α) và (β) lần lượt có vectơ pháp tuyến −−→ n (α) = (1; 2; 2) và −−→ n (β) = (2; 3; 1).
= (−4; 3; −1) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có (P )⊥(α) và (P )⊥(β) nên nhận −−→ n (α) , −−→ n (β)
Lại có (P ) qua M (−2; 3; −1) nên có phương trình −4(x+2)+3(y−3)−(z+1) = 0 ⇔ 4x−3y+z+18 = 0.
= (−1; 0; 1).
j i
M N , − →
M N = (1; −4; 1) ⇒ h −−→
g) Ta có: −−→
Vì (P ) qua M, N và (P ) k Oy nên nhận h −−→
= (−1; 0; 1) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (P) có phương trình: −(x − 1) + 0(y − 2) + 1(z − 3) = 0 ⇔ x − z + 2 = 0.
h) Ta có (P) là trung trực của AB nên đi qua trung điểm I (3; 1; 3) của AB.
Lại có (P )⊥AB nên nhận − − →
AB = (−2; 4; −4) làm vectơ pháp tuyến.
Vậy (P) có phương trình: −2(x − 3) + 4(y − 1) − 4(z − 3) = 0 ⇔ x − 2y + 2z − 7 = 0.
i) Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 3) và bán kính r = 4.
Vì (P ) k (β) nên có phương trình dạng 4x + 3y − 12z + d = 0 (d 6= 1).
d = 78
√ 16 + 9 + 144 = 4 ⇔
Mặt khác (P ) tiếp xúc với (S) nên d (I ; (P )) = r ⇔ |4 + 6 − 36 + d|
d = −26 .
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là (P) : 4x + 3y − 12z + 78 = 0 hoặc (P) : 4x + 3y − 12z − 26 = 0.
Bài tập 6.17. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau
a) (α) : x − 2y + 3z − 3 = 0; (β) : 2x − y + z − 1 = 0.
b) (α) : 2x − y + 2z + 1 = 0; (β) : −4x + 2y − 4z − 1 = 0.
c) (α) : 3x − y + 2z + 1 = 0; (β) : 6x − 2y + 4z + 2 = 0.
a) Vì 1 : −2 : 3 6= 2 : −1 : 1 nên (α) cắt (β).
b) Vì 2
−4 = −1
−4 6= 1
−1 nên (α) k (β).
2 = 2
c) Vì 3 : −1 : 2 : 1 = 6 : −2 : 4 : 2 nên (α) ≡ (β).
Bài tập 6.18. Tính các khoảng cách sau
a) Giữa M (2; −3; 1) và (α) : 2x + 2y + z + 3 = 0.
b) Giữa A (−4; 1; 5) và (α) : x + 7y − 2z + 1 = 0.
c) Giữa (α) : 2x − y + 2z + 1 = 0 và (β) : 4x − 2y + 4z − 3 = 0.
√ 4 + 4 + 1 = 2
a) Ta có: d (M, (α)) = |4 − 6 + 1 + 3|
Bạn đang xem 26. - DAP AN CHUYEN DE TOÁN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
