TRÍCH ĐỀ HỌC SINH GIỎI ĐÀ NẴNG 2010VỚI MỖI THAM SỐM∈R, GỌI(CM)...
Bài 42.
Trích đề học sinh giỏi Đà Nẵng 2010
Với mỗi tham số
m
∈
R
, gọi
(C
m
)
là đồ thị của hàm số:
y
=
x
3
−
(3m
−
1)x
2
+
2m(m
−
1)x
+
m
2
(1).
CMR: khi
m
thay đổi, đường thẳng
(∆
m
)
:
y
=
mx
−
m
2
luôn cắt
(C
m
)
tại một điểm
A
có hoành độ không
đổi. Tìm
m
để
(∆
m
)
còn cắt
(C
m
)
tại hai điểm nữa khác
A
và tiếp tuyến của
(C
m
)
tại hai điểm đó song
song với nhau.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của
(C
m
)
và đường thẳng
∆
m
x
3
−
(3m
−
1)x
2
+
2m(m
−
1)x
+
m
2
=
mx
−
m
2
"
x
=
1
⇔
(x
−
1)(x
2
−
3mx
+
2m
2
) =
0
⇔
f
(x) =
x
2
−
3mx
+
2m
2
=
0(∗)
Với
x
=
1
⇒
y
=
m
−
m
2
⇒
A(1;
m
−
m
2
)
cố định
Để
∆
m
cắt
(C
m
)
tại 2 điểm
B,C
khác điểm
A
thì pt
(∗)
phải có 2 nghiệm phân biệt
x
B
;
x
C
khác
1
∆
=
9m
2
−
8m
2
>
0
⇔
⇒
m
6=
(i)
0;
1
2
; 1
f
(1) =
1
−
3m
+
2m
2
6=
0
x
B
+
x
C
=
3m
Lúc đó theo vi-et có:
x
B
.x
C
=
2m
2
Tiếp tuyến tại
B
có hệ số góc
k
B
=
3x
2
B
−
2(3m
−
1)x
B
+
2m(m
−
1)
Tiếp tuyến tại
C
có hệ số góc
k
C
=
3x
C
2
−
2(3m
−
1)x
C
+
2m(m
−
1)
Vì tiếp tuyến tại
B,C
song song nên
k
B
=
k
C
⇔
3x
2
B
−
2(3m
−
1)x
B
+
2m(m
−
1) =
3x
C
2
−
2(3m
−
1)x
C
+
2m(m
−
1)
⇔
3(x
B
+
x
C
) =
2(3m
+
1)
vì
x
B
6=
x
C
⇔
3m
=
2
⇔
m
=
2
3
thỏa đk
(i)
Vậy
m
=
2
3
là giá trị cần tìm.