DÏNG ®IÒU KIÖN ∆ ≥0 HOÆC ∆ ≥' 0®Ó PH−¬NG TR×NH BËC HAI CÃ NGHIÖM.VÝ...

4. Dïng ®iÒu kiÖn

∆ ≥0

hoÆc

∆ ≥' 0

®Ó ph−¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm.

VÝ dô 20:

Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau:

x

²

+2y

²

=2xy+2x+3y

Gi¶i:

( )

2

2

2

2

2 2 2 3 2 1 2 3 0x + y = xy+ x+ y⇔x − x y+ + y − y=

ta

cã:

^{∆ ='}

(

^y+1

)

²

⁻

(

^2y

²

^−3y

)

^{= − +y}

²

^{5y+ ≥ ⇔1 0 5−}₂^{29 ≤ ≤y 5+}₂²⁹

V× y nguyªn nªn y

∈

{

0;1; 2;3; 4;5

} Thay lÇn l−ît c¸c gi¸ trÞ cña y vµo ph−¬ng tr×nh vµ t×m x

t−¬ng øng ta ®−îc: ( ) ( )

x y^; ∈

{

0; 0 ; 2; 0

^{( )} }

NhËn xÐt:Nãi chung ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc dïng khi f(x ; y) cã d¹ng tam thøc

bËc hai f(z) = az

²

+ bz + c trong ®ã a <0 .

cßn khi a > 0 th× dïng ph−¬ng ph¸p ®a nãi trong vÝ dô 3 ®Ó ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh −íc sè

mét c¸ch nhanh chãng.

Ph−¬ng ph¸p 4:

Ph−¬ng ph¸p chÆn hay cßn gäi lµ ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸.

Chñ yÕu dùa vµo hai nhËn xÐt sau:

• Kh«ng tån t¹i

n∈Z

tháa m·n

^a

²

^<n

²

^<

(

^a+1

)

²

víi a lµ mét sè nguyªn.

• NÕu

^a

²

^<n

²

^<

(

^a+2

)

²

^víi

^{a n; ∈Z}

th× n = a + 1.

Ta cã vÝ dô sau:

VÝ dô 21: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau:

x

⁴

+ + =x

²

1 y

²

XÐt hiÖu (

^x

²

⁺¹

)

²

^−y

²

^=x

²

^≥0⇒

(

^x

²

⁺¹

)

²

^{≥ y}

²

XÐt hiÖu

y

²

−x

⁴

=x

²

+ >1 0⇒ y

²

>x

⁴

Suy ra: ( )

^x

²

²

^{< y}

²

^≤

(

^x

²

⁺¹

)

²

^{⇒ y}

²

⁼

(

^x

²

⁺¹

)

²

ThÕ vµo ph−¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã:

x

²

=0

⇔ =x 0

NhËn xÐt trªn cã thÓ më réng víi sè lËp ph−¬ng ta cã vÝ dô sau:

VÝ dô 22: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau:

x

³

−y

³

=2y

²

+3y+1

B»ng c¸ch biªn ®æi nh− vÝ dô trªn ta cã: (

^y−1

)

³

^<x

³

^≤

(

^y+1

)

³

^{⇒x=y; x= +y 1.}

LÇn l−ît xÐt c¸c tr−êng hîp x = y vµ x = y +1 ta t×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:

( ) (

x y^; ∈ − −

{

1; 1 ; 1; 0

) ^{( )} } .

Ph−¬ng ph¸p 5: Dïng tÝnh chÊt cña sè chÝnh ph−¬ng.

Các tính ch ấ t th ư êng dùng :

– Số chính phương không tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

– Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho

p .

²

– Số chính phương khi chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

– Số chính phương chia cho 5, cho 8 thì số dư chỉ có thể là 0, 1 hoặc 4.

– Số chính phương lẻ chia cho 4, 8 thì số dư ñều là 1.

– Lập phương của mét số nguyên chia cho 9 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 8.

…

D¹ng 1: sö dông mÖnh ®Ò 1 sau:

 =

2

x k = ∈

víi x, y, z nguyªn vµ xy = z

²

víi (x;y) = 1 th×