PH−¬NG TR×NH D¹NG MÒ

1)Ph−¬ng tr×nh d¹ng mò:

( th−êng sö dông ph−¬ng ph¸p xÐt modulo nh−ng kh«ng ph¶i lµ lu«n lu«n).

VÝ dô 31: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau:

²

^x

^{+ =7 y}

²

(

^{x y, ∈Z}

)

Gi¶i:

x = 0 ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn

1 3x= ⇒ y= ±

xÐt

^x≥2⇒2

^x

^{≡0 mod 4}

( )

^⇒2

^x

^{+ ≡7 3 mod 4}

( )

^{⇒ y}

²

^{≡3 mod 4}

( ) ^{v« lÝ v×}

^y

²

^{≡0;1 mod 4}

( )

vËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ( ) ( )

^{x y; ∈}

{

^{1;3 ; 1; 3}

⁽

⁻

⁾ } ^.

VÝ dô 32: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau:

²

^x

^{+21= y}

²

(

^{x y, ∈Z}

)

XÐt x lÎ, ®Æt x= 2k +1

^⇒2

^x

^=2.4

^k

^{=2 3 1}

(

⁺

)

^k

^{≡2 mod 3}

( )

^⇒2

^x

^{+21≡2 mod 3}

( )

( )

2

2 mod 3⇒ y ≡

(V« lÝ) v×

^y

²

^{≡0;1 mod 3}

( )

XÐt x ch½n, ®Æt x= 2k

^⇒2

²

^k

^{+21= y}

²

^{⇒ y}

²

⁻²

²

^k

^=21⇒

(

^y−2

^k

)(

^y+2

^k

)

⁼²¹

lµ ph−¬ng tr×nh

−íc sè nªn ta dÔ dµng t×m ®−îc ( ) ( )

^{x y; ∈}

{

^{2;5 ; 2; 5}

⁽

⁻

⁾ }

VÝ dô 33: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau:

2

^x

+2

^y

+2

^z

=2336

víi

x< <y z

.

Gi¶i:

( )

⁵

2

^x

+2

^y

+2

^z

=2336 ⇔2 1 2

^x

+

^{y x}

⁻

+2

^{z x}

⁻

=2336=2 .73

ta cã

1 2+

^{y x}

⁻

+2

^{z x}

⁻

lµ sè lÎ

 =2 2

5

1

x



VËy ( )

+ + =

y x

−

z x

−

1 2 2 73 2

Tõ (1) suy ra x = 5 thay vµo (2) ta cã

1 2+

^y

⁻

⁵

+2

^z

⁻

⁵

=73⇔2

^y

⁻

⁵

+2

^z

⁻

⁵

=72

−

−

−

−

⇔ + = ⇔ + =

−

−

 + =  =  − =  =

3

z y

z y

 z y y1 2 9 2 2 3 8⇔ ⇔ ⇔ ⇔− = == =

y

y

5

3

5

3

y z   5 3 11 2 2 2 2

VËy (

^{x y z; ;}

) (

^{= 5;8;11}

)

Chó ý: Víi c¸ch gi¶i trªn ta cã thÓ gi¶i ®−îc bµi to¸n sau: t×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng

tr×nh

²

^x

⁺²

^y

⁺²

^z

⁼²

ⁿ

(

^{x≤ ≤y z n; ∈Z}

)

KQ: (

^{x y z; ;}

) (

^{= −n 2;n−2;n−1}

)

VÝ dô 34: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau

5x

³

=3

^y

+317

Gi¶i:

Trong ph−¬ng tr×nh nµy cã sù tham gia cña sè lËp ph−¬ng vµ nh− ®; nãi ë phÇn ph−¬ng

ph¸p lùa chän modulo th× trong bµi nµy ta lùa chon mod9

Ta cã: víi y =1 suy ra x = 4.

Víi

^y≥2⇒3

^y

^{≡0 mod 9}

( )

^⇒5x

³

^{= +3}

^y

^{317≡2 mod 9}

( ) ^{v« lý v×}

⁵x

³

≡0; 4;5 mod 9

( )

Suy ra ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt ( x;y) = ( 4;1).

Ta ®Õn víi bµi to¸n khã h¬n.

VÝ dô 35: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau

x

^y

= y

^x

Râ rµng x = y lµ mét nghiÖm.

y

xÐt

x≠ y

kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x<y

⇒ = ⇔ =

do y nguyªn nªn

x

x

y

y x

x

yx

x

nguyªn

⇒y x⋮

®¨t y =tx thÕ vµo ta ®−îc:

x

^t

=tx⇒x

^t

⁻

¹

=t

râ rµng

t≥2

v× ®;gi¶ sö

x≠y

ta cã

t=2⇒x=2;y=4

víi

t≥3⇒x≥2

ta chøng minh

x

^t

⁻

¹

>t

do

x≥2

nªn ta chØ viÖc

chøng minh

2

^t

⁻

¹

>t

ta chøng minh b»ng quy n¹p theo t.

ta cã: t = 3 ®óng.

Gi¶ sö kh¼ng ®Þnh ®óng víi t = k tøc lµ

2

^k

⁻

¹

>k

ta chøng minh kh¼ng ®Þnh ®óng víi t = k+1

Tøc lµ

2

^k

≻k+1

ThËt vËy: theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã:

2

^k

⁻

¹

>k⇒2

^k

>2k> +k 1

( v× k >1)

Do ®ã ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm víi

t≥3

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn lµ: ( ) ( )

x y^; ∈

{

a a^; ; 2; 4 ; 4; 2

^{( ) ( )} } víi a

∈Z

.

VÝ dô 36: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn kh«ng ©m sau:

2

^x

− =3

^y

1

XÐt theo mod3

Ta cã:

2

^x

− =1 3

^y

xÐt víi y = 0 suy ra x = 1.

xÐt

^y≥1⇒3

^y

^{≡0 mod 3}

( )

^⇒2

^x

^{− ≡1 0 mod 3}

( )

mÆt kh¸c

²

^x

^{− = −1}

(

^{3 1}

)

^x

^{− ≡ −1}

( )

¹

^x

^{−1 mod 3}

( )

^⇒x

ch½n v× x ch½n th× ( )

⁻¹

^x

^{− ≡1 0 mod 3}

( )

§Æt x = 2k ta cã

²

²

^k

^{− =1 3}

^y

^⇔

(

²

^k

^{−1 2}

)(

^k

^{+ =1}

)

³

^y

 + =2 1 3

( ) ( )

− = ⇒ + − − = = − ⇒ + = + =2

^k

1 3

^v

2

^k

1 2

^k

1 2 3

^u

3

^v

3

^v

2 3

^u

u v y

NÕu u = 0 suy ra

3

^v

=-1 v« lý.

=⇒ = ⇒ = ⇒ v u x

NÕu u

≥1^⇒3

^u

^{≡0 mod 3}

( )

^⇒3

^v

^{+ ≡2 0 mod 3}

( )

^{0 1 1} =y2

VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: ( ) ( )

^{x y; ∈}

{

^{1; 0 ; 2;1}

^{( )} }