PH−¬NG TR×NH D¹NG AX + BY =C.VÝ DÔ 1

1. - Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên - Tạ Văn Đức -
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên - Tạ Văn Đức -

1. Ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + by =c.

vÝ dô 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: 2x + 25y = 8 (1)

Gi¶i:

Cã thÓ dÔ dµng thÊy r»ng y ch½n. §Æt y =2t ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh: x + 25t = 4

Tõ ®ã ta cã nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh.

= −4 25x t= ∈2y tt Z

Chó ý: ta cßn cã c¸ch thø hai ®Ó t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn. §ã lµ ph−¬ng ph¸p

t×m nghiÖm riªng ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn. Ta dùa vµo ®Þnh lý sau:

NÕu ph−¬ng tr×nh ax + by =c. víi (a;b) = 1 cã nghiÖm lµ ( x

0

; y

0

) th× mäi nghiÖm nguyªn

cña ph−¬ng tr×nh nhËn tõ c«ng thøc.

= +x x bt

0

y y at

§Þnh lý nµy chøng minh kh«ng khã ( b»ng c¸ch thÕ trùc tiÕp vµo ph−¬ng tr×nh) dùa vµo

®Þnh lý nµy ta chØ cÇn t×m mét nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh ax + by =c.

§èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh cã hÖ sè a,b,c nhá th× viÖc t×m nghiÖm riªng kh¸ ®¬n gi¶n

xong víi ph−¬ng tr×nh cã c¸c hÖ sè a,b,c lín th× kh«ng dÔ dµng chót nµo, do ®ã ta ph¶i

dïng ®Õn thuËt to¸n ¥clÝt.