¸P DÔNG BÊT ®¼NG THØC CÆ ®IÓN.VÍ DÔ 15 TÌM CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG X, Y...

2. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cæ ®iÓn.

Ví dô 15 Tìm các số nguyên dương x, y thoả mãn phương trình :

(x + 1)(x + y ) = 4x y

²

²

²

²

Gi ả i :

Áp dụng bất ñẳng thức Cô–si ta có :

x + 1

2

≥ 2x

, dấu bằng xÈy ra khi x = 1.

2

2

x + y ≥ 2xy

, dấu bằng xÈy ra khi x = ỵ

Vì x, y nguyên dương nên nhân các bất ñẳng thức trên vế theo vế ta ñược :

2

2

2

2

(x + 1)(x + y ) ≥ 4x y

, dấu bằng có khi và chỉ khi x = y = 1.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = y = 1.

VÝ dô 16: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau: (

^{x+ +y 1}

)

²

⁼³

(

^x

²

^+y

²

⁺¹

)

Gi¶i:

¸p dông B§T Bunhiacopski ta cã (

^{x+ +y 1}

) (

²

^{≤ + +1 1 1}

) (

^x

²

^+y

²

⁺¹

)

DÊu b»ng xÈy ra khi

^{1 1 1} 11x = = =y

hay x = y = 1

VËy Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = y = 1

VÝ dô 17: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau:

( )

³

6

3

2

2

2

2

15 3 5x + −z x z= x y z− y +

( )

6

3

2

2

2

2

3

+ − = − +x z x z x y z y

( ) ( ) ( )

3

3

⇔ + + + = +

2

2

3

2

2

5 3 5x y z x z y

¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 3 sè ta cã : ( ) (

^x

²

³

^{+ y}

²

⁺⁵

)

³

^{+ ≥z}

³

^{3x z y}

²

(

²

⁺⁵

) DÊu = x©y ra

khi

x

²

=y

²

+ =5 z

Tõ ph−¬ng tr×nh

^x

²

^=y

²

^+5⇒

(

^x−y

)(

^x+y

)

^{=5⇒x=3;y=2⇒z=9}

V©y nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ ( x;y;z) = ( 3;2;9).

Ghi chó:

ViÖc ¸p dông bÊt ®¼ng thøc vµo gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn rÊt Ýt dïng v× Èn ý

dïng bÊt ®¼ng thøc rÊt dÔ bÞ lé . Tuy nhiªn còng cã mét vµi tr−êng hîp dïng bÊt ®¼ng

thøc kh¸ hay nh− vÝ dô sau:

VÝ dô 18.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau:

4

4

2

2

2

2

3(x +y + +x y + =2) 2(x − +x 1)(y − +y 1)

(

^x+1

)

²

^{≥ ⇔0 2x}

²

^{+4x+ ≥ ⇔2 0 3}

(

^x

²

^{+ + ≥x 1}

)

^x

²

^{− +x 1}

Ta cã

( )

²

( )( ) ( )

²

4

2

2

2

2

2

1

2

Do (*)

1 1 1 1 1x + + =x x + −x = x + +x x − + ≥x 3 x − +x

( )

²

4

2

1

2

T−¬ng tù ta còng cã (**)

1 1y +y + ≥3 y − +y

Céng theo vÕ cña (*) vµ (**) ta cã

( ) ( )

+ + + + ≥ − + + − +x y x y x x y y2 1 13 3

( ) ( ) ( )( )

 ⇔ + + + + ≥  − + + − + ≥ − + − +

4

4

2

2

2

2

2

2

x y x y x x y y x x y y2 1 1 .2 1 1

( ) ( )( )

⇔ + + + + ≥ − + − +3 2 2 1 1

DÊu “=” xÈy ra khi x = y= 1

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = y= 1.

VÝ dô 18.2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau víi x, y, z lµ c¸c sè ®«i mét kh¸c

nhaụ

^x

³

^+y

³

^{+ = + +z}

³

(

^{x y z}

)

²

3

3

3

3

x +y +z x+ +y z

¸p dông bÊt ®¼ng thøc

≥  x y z

( ) (

²

)

³

⇒ + + = + + ≥ ⇒ + + ≤

3

3

3

x y z x y z + + x y z9 9

V× x, y, z ®«i mé kh¸c nhau suy ra

^x+ + ≥ + + =^{y z 1 2 3 6}⇒^x+ + ∈^{y z}

{

^{6; 7;8}

}

LÇn l−ît thö c¸c gi¸ trÞ cña

x+ +y z

ta t×m ®−îc (x;y;z)= (1;2;3) vµ c¸c ho¸n vÞ cña nã.