§ÈI VÍI C¸C PH−¬NG TR×NH MΜ C¸C BIÕN Cà VAI TRSS NH− NHAU TH× NG−ÊI...

1. §èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh mµ c¸c biÕn cã vai trß nh− nhau th× ng−êi ta th−êng dïng

ph−¬ng ph¸p s¾p thø tù c¸c biÕn.

VÝ dô 12: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau:

x+ + =y z 3xyz

Gi¶ị

Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö

1≤ ≤ ≤x y z⇒ = + + ≤3 3xyz x y z z⇒ ≤ ⇒ = = ⇒ =xy x y z1 1; 1 1

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ (x;y;z)= ( 1;1;1).

Chó ý: §èi víi ph−¬ng tr×nh nghÞch ®¶o c¸c biÕn ta còng cã thÓ dïng ph−¬ng ph¸p nµy

( nÕu vai trß c¸c biÕn còng nh− nhau). Ta cã c¸ch gi¶i kh¸c cña vÝ dô 9:

Chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho xyz ta cã:

^{1 1 1} 3xy+ zx+ yz=

Gi¶i:

Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö

1≤ ≤ ≤x y z 1 1 1 3

₂

²

⇒ + + = ≤ ⇒ ≤ ⇒ =3 x 1 x 1xy zx yz x

Suy ra: y = 1; z =1.

VÝ dô 13: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau:

^{1 1 1} 1x+ + =y z

Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö

1≤ ≤ ≤x y z 1 1 1 3⇒ + + = ≤ ⇒ ≤1 x 3x y z x

LÇn l−ît thö x = 1 th× ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.

+ + = ⇔ + = ≤ ⇒ ≤

XÐt x = 2 ta cã

^{1 1 1} 1 ^{1 1 1 2} 42 2 yy z y z y

MÆt kh¸c

^{y≥ =x 2⇒ y∈}

{

^{2;3; 4}

} ta thö lÇn l−ît c¸c gi¸ trÞ cña y:

y= 2 ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.

y=3

^⇒

z=6

y=4

^⇒

z=4

xÐt x =3ta cã:

^{1 1 1} 1 ^{1 1 2 2} 33 3 y

MÆt kh¸c

y≥ =x 3⇒ y=3⇒z=3

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: (

x y z^{; ;}

) (

∈

{

2;3; 6 , 2; 4; 4 , 3;3;3

) ^{( ) ( )} }

VÝ dô 14: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau: x! + y! = (x+y)! (*)

V× vai trß cña x, y nh− nhau nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö

1≤ ≤x y

Ta cã: (x+y)! =x! + y!

_≤

2.y!

⇒ x≤1

v× nÕu x > 1 th× 2.y!

_≥

(y+2)!