SÖ DÔNG SÈ D− ®Ó CHØ RA PH−¬NG TR×NH V« NGHIÖM. VÝ DÔ 8

2.Sö dông sè d− ®Ó chØ ra ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.

VÝ dô 8: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d−¬ng sau:

4

30

19

^x

+ +5

^y

1890 1975= +2013

Gi¶i:

Ta cã x ,y nguyªn d−¬ng

⇒5 5; 1890 5

^y

⋮ ⋮ ^{⇒VT =19}

^x

^{+ +5}

^y

^{1890 19≡}

^x

(

^{mod 5}

)

MÆt kh¸c:

^{19≡ −1 mod 5}

( )

^⇒19

^x

^{≡ −( 1)}

^x

(

^{mod 5}

)

NÕu x ch¨n th×

¹⁹

^x

^{≡1 mod 5}

( ) ; nÕu x lÎ th×

¹⁹

^x

^{≡ −1 mod 5}

( ) (

^{≡4 mod 5}

)

( )

1; 4 mod 5⇒VT≡

cßn

^{VP≡3 mod 5}

( ) Do ®ã ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.

VÝ dô 9: T×m c¸c sè nguyªn d−¬ng x, y biÕt:

x

²

+ − =x 1 3

²

^y

⁺

¹

Ta cã:

^VP=3

²

^y

⁺

¹

^{≡0 mod 3}

( ) ^(*)

NÕu x =3k (

k∈N

^*

) th×

^{VT =x}

²

^{+ − ≡x 1 2 mod 3}

( )

NÕu x =3k +1 (

k∈N

) th×

^{VT =x}

²

^{+ − ≡x 1 1 mod 3}

( )

NÕu x =3k +2 (

k∈N

) th×

^{VT =x}

²

^{+ − ≡x 1 1 mod 3}

( )

VËy víi

∀ ∈x Z

⁺

th×

VT =x

²

+ − ≡x 1 1; 2 mod 3

( ) (**)

Tõ (*) vµ (**) suy ra kh«ng tån t¹i c¸c sè nguyªn d−¬ng x, y tho¶ m;n bµi to¸n.

Chó ý: NhiÒu bµi to¸n thi v« ®Þch c¸c n−íc ®«i khi ph¶i xÐt ®Õn Modulo kh¸ lín

VD ( IMO n¨m 1999).

VÝ dô 10: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau:

m

²

= −n

⁵

4

2

0;1;3; 4;5;9 mod11m ≡

cßn

n

⁵

− ≡⁴ 6; 7;8 mod11

( ) suy ra ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.

Chó ý: §èi víi c¸c ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn cã sù tham gia cña c¸c sè lËp ph−¬ng

th× Modulo th−êng dïng lµ Mod9 V×

x

³

≡0;1;8 mod 9

( )

VÝ dô 11: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau:

x

³

+y

³

+ =z

³

2011

( 8)

Dùa vµo nhËn xÐt trªn: Ta cã

x

³

≡0;1;8 mod 9

( ) ;

y

³

≡0;1;8 mod 9

( )

z

³

≡0;1;8 mod 9

( )

⇒ = + + ≡

3

3

3

0;1; 2;3; 6; 7;8 mod 9VT x y z

Cßn

^{VP=2011≡4 mod 9}

( ) nªn ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm

Ph−¬ng ph¸p 3: Dïng bÊt ®¼ng thøc .