XÐT SÈ D− HAI VÕ.VÝ DÔ 5

1. XÐt sè d− hai vÕ.

VÝ dô 5: T×m nghiÖm nguyªn cña ph−¬ng tr×nh:

9x+ =2 y

²

+y

(*)

Gi¶i:

Ta cã:

^{VT =9x+ ≡2 2 mod 3}

( )

^{⇒VP= y}

²

^{+ ≡y 2 mod 3}

( )

^{⇔ y y}

(

^{+ ≡1}

) (

^{2 mod 3}

)

( )

1 mod 3⇒ y≡

( v× nÕu y=3k hoÆc y = 3k+2 th×

^{VP≡0 mod 3}

( ) ^).

⇒ = +

(trong ®ã k

∈Z

) thay vµo pt(*) ta cã :

3 1y k

( ) (

²

)

²

²

9x+ =2 3k+1 + 3k+ ⇔1 9x=9k +9k⇔ =x k +k = +

2

x k k = +

VËy

 ∈k Z

VÝ dô 6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn kh«ng ©m sau:

(

²

^x

^{+1 2}

)(

^x

^{+2 2}

)(

^x

^{+3 2}

)(

^x

^{+ −4}

)

⁵

^y

⁼¹¹⁸⁷⁹

Ta cã

2 ; 2

^x

^x

+1; 2

^x

+2; 2

^x

+3; 2

^x

+4

lµ 5 sè tù nhiªn liªn tiÕp

²

^x

(

²

^x

^{+1 2}

)(

^x

^{+2 2}

)(

^x

^{+3 2}

)(

^x

^{+4 5}

)

^⋮

MÆt kh¸c ¦CLN(

2

^x

;5) = 1 nªn (

²

^x

^{+1 2}

)(

^x

^{+2 2}

)(

^x

^{+3 2}

)(

^x

^{+4 5}

)

^⋮

Víi

y≥1

th×

^{VT =}

(

²

^x

^{+1 2}

)(

^x

^{+2 2}

)(

^x

^{+3 2}

)(

^x

^{+ −4}

)

^{5 5}

^y

^⋮

^cßn

^{VP=11879≡4 mod 5}

^{( )} suy ra ph−¬ng

tr×nh kh«ng cã nghiÖm.

Víi y =0 ta cã :

(

²

^x

^{+1 2}

)(

^x

^{+2 2}

)(

^x

^{+3 2}

)(

^x

^{+ − =4}

)

⁵

⁰

^11879⇔

(

²

^x

^{+1 2}

)(

^x

^{+2 2}

)(

^x

^{+3 2}

)(

^x

^{+ =4}

)

¹¹⁸⁸⁰

(

²

^x

^{1 2}

)(

^x

^{2 2}

)(

^x

^{3 2}

)(

^x

⁴

)

^{9.10.11.12 2}

^x

^{1 9 2}

^x

^{8 2}

^x

²

³

^{x 3}⇔ + + + + = ⇒ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

VËy ph−¬ng tr×nh ®; cho cã nghiÖm duy nhÊt ( ) ( )

^{x y; = 3; 0}

VÝ dô 7: T×m x, y nguyªn d−¬ng tho¶ m;n :

³

^x

^{+ =1}

(

^y+1

)

²

( )

²

( )

3

^x

+ =1 y+1 ⇔3

^x

= y y+2

(**)

Ta cã ^{VT = 3}

^x

^{≡ 1 mod 2} ( ) ^{⇒ VP = y y} ( ^{+ ≡ 2} ) ( ^{1 mod 2} )

Suy ra y lµ sè lÎ mµ y vµ y+2 lµ hai sè lÎ liªn tiÕp

 =

m

3y⇒ + =

Tõ pt(**)

n

2 3

Ta cã y +2 > y

^⇒

n > m

≥1

NÕu m > 1 th× y vµ y+ 2 ®Òu chia hÕt cho 3 ( v« lÝ v× ( y; y+2) =2 )

VËy m =1

^⇒

n = 0

^⇒

x=1

^⇒

y =1