KHƠNG ĐƯỢC DÙNG PHÉP HỐN VỊ VỊNG QUANH X  Y  Z  X VÀ GIẢ SỬ X...

33. Khơng được dùng phép hốn vị vịng quanh x  y  z  x và giả sử x ≥ y ≥ z.

Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z :

= + + ≥ =

A 3 . . 3

x y z

x y z

y z x y z x

 + +  = ⇔ = = ⇔ = =

min 3 x y z

 ÷

Do đĩ x y z x y z

 

   

+ + =   + ÷   +  + − ÷  . Ta đã cĩ x y

y + ≥ x 2 (do x, y > 0) nên để

Cách 2 : Ta cĩ : x y z x y y z y

y z x y x z x x

y + + ≥ z x 3 ta chỉ cần chứng minh : y z y

z + − ≥ x x 1 (1)

chứng minh x y z

(1) ⇔ xy + z

– yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)

⇔ xy + z

– yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)

(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đĩ (1) đúng. Từ đĩ tìm được giá trị nhỏ

nhất của x y z

y + + z x .