BẤT ĐẲNG THỨC PHẢI CHỨNG MINH TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI

27. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :

( )

+ + − + +

x z y x z x x z y x z y xyz

≥ ^.

x y z 0

Cần chứng minh tử khơng âm, tức là : x

z

(x – y) + y

x

(y – z) + z

y

(z – x) ≥ 0. (1)

Biểu thức khơng đổi khi hốn vị vịng x  y  z  x nên cĩ thể giả sử x là số lớn nhất. Xét hai trường

hợp :

a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x ở (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với :

x

z

(x – y) + y

x

(y – z) – z

y

(x – y) – z

y

(y – z) ≥ 0

⇔ z

(x – y)(x

– y

z) + y

(y – z)(yx

– z

) ≥ 0

Dễ thấy x – y ≥ 0 , x

– y

z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx

– z

≥ 0 nên bất đẳng thức trên đúng.

b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y ở (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với :

x

z

(x – z) + x

z

(z – y) – y

x

(z – y) – z

y

(x – z) ≥ 0

⇔ z

(x – z)(x

– zy

) + x

(xz

– y

)(z – y) ≥ 0

Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng.

Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :

 −  +  −  +  −  +  + +  ≥

x y z x y z

1 1 1 3

 ÷   ÷    ÷   ÷

y z x y z x

    ^.