A) TA ÁP DỤNG BỔ ÑỀ SAU ÑỂ ÑÁNH GIÁ

Bài23:Lời Giải: a) Ta áp dụng Bổ ñề sau ñể ñánh giá: ³

(

^a

²

^{− +a 1}

)

²

^≥a

⁶

^+a

³

^+1.Thật vậy bất ñẳng thức trên tương ñương với :

( ^{a − 1} )

⁴

( ^{2 a}

²

^{− + a 2} ) ^{≥ 0}

^(True) Nên bổ ñề ñược chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại a=1.Áp dụng bổ ñề trên ta có:

( ) (

³

) (

³

)

³

3

2

2

2

3

2

2

2

3(1 )(1 )(1 ) 3 1 3 1 3 1LHS = − −x x − −y y − −z z  = x − +x y − +y z − +z

( )( )( )

⇒ ≥ + + + + + +

3

6

3

6

3

6

3

LHS x x y y z z1 1 1Lại dùng BĐT holder ta có:

( ^x

⁶

^{+ x}

³

^{+ 1} )( ^y

⁶

^{+ y}

³

^{+ 1} )( ^z

⁶

^{+ z}

³

^{+ ≥ 1} ) ^ _ ^{( ) xyz}

²

^{+ xyz + 1 } _

³

^{= RHS}

³

^.

Suy ra Q.E.D. Đẳng thức xảy ra tại x= = =y z 1.+ + −c a xy x= = +c a y x y1 1 .x y zb)Đặt a ;b ;c .+ + +b = c = a = thì có ngay xyz=1.Khi ñó : 1 1− + + + ≤ + + ↔ − ≥x x

∑ ∑

Khi ñó BĐT cần chứng minh trở thành: 1 11 1 0.x y z x y z+ +y y Bất ñẳng thức ^⇔

(

^x

²

^+y

²

^+z

²

) (

^{+ x y}

²

^{+y z}

²

^{+z x}

²

)

^{≥ + + +x y z 3.}

2

+ + ≥ ≥ + + = + + &

∑ x y

²

≥ 3 xyz = 3.

2

2

2

( )

3

( ) .x y z + + xyz x y z x y zMà 3Cộng vế với vế ta có ñiều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra tại x= = = ↔ = =y z 1 a b c.+ + + + + ≤ + +Mở rộng: Với a,b,c dương thì : a kb b kc c ka a b c.a kc b ka c kb b c a