BẤT ĐẲNG THỨC PHẢI CHỨNG MINH TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI
27. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
(
)
+
+
−
+
+
4 2
4 2
4 2
2
2
2
x z
y x
z x
x z y x z y xyz
≥
.
x y z
0
2 2 2
Cần chứng minh tử khơng âm, tức là : x
3
z
2
(x – y) + y
3
x
2
(y – z) + z
3
y
2
(z – x) ≥ 0. (1)
Biểu thức khơng đổi khi hốn vị vịng x y z x nên cĩ thể giả sử x là số lớn nhất. Xét hai
trường hợp :
a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x ở (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với :
x
3
z
2
(x – y) + y
3
x
2
(y – z) – z
3
y
2
(x – y) – z
3
y
2
(y – z) ≥ 0
⇔ z
2
(x – y)(x
3
– y
2
z) + y
2
(y – z)(yx
2
– z
3
) ≥ 0
Dễ thấy x – y ≥ 0 , x
3
– y
2
z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx
2
– z
3
≥ 0 nên bất đẳng thức trên đúng.
b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y ở (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với :
x
3
z
2
(x – z) + x
3
z
2
(z – y) – y
3
x
2
(z – y) – z
3
y
2
(x – z) ≥ 0
⇔ z
2
(x – z)(x
3
– zy
2
) + x
2
(xz
2
– y
3
)(z – y) ≥ 0
Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng.
Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
2
2
2
−
+
−
+
−
+
+ +
≥
x
y
z
x
y
z
1
1
1
3
÷
÷
÷
÷
y
z
x
y
z
x
.