TRONG KHƠNG GIAN OXYZ, CHO 2 ĐIỂM M(L;0;L) VÀ N(3;2;-L). ĐƯỜNG THẲNG M...

4) Vị trí tương đốicủa hai đường thẳng:

Cho đường thẳng

1

qua điểm

M x y z

1

(

1

; ;

1

1

)

cĩ VTCP

u



1

=

(

a a a

1

; ;

2

3

)

và đường thẳng

2

qua điểm

( )

M x y z

cĩ VTCP

u



2

=

(

b b b

1

; ;

2

3

)

. Khi đĩ:

2

2

; ;

2

2

 



 =

;

0

u u



cùng phương và

M

1

∉ ∆

2

hoặc

1

2

-

1

/ /

2

u u

 

1

;

2

∉ ∆

M



1

2

-

∆ ≡ ∆

1

2

u u

 

1

;

2

cùng phương và

M

1

∈ ∆

2

hoặc

1

2

∈ ∆

u u M M

.

-

1

2

cắt nhau

  

1

;

2

.

1

2

=

0

u u M M

-

1

2

chéo nhau

  

1

;

2

.

1

2

0

u

u

u u

a b a b a b

1 1

+

2 2

+

3 3

=

0

Đặc biệt

∆ ⊥ ∆ ⇔

1

2

 

1

2

 

1 2

.

=

0

C.

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP :

Chú ý :

- Muốn viết phương trình đường thẳng thường đi tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ chỉ

phương

- Đường thẳng d đi qua điểm M(x

0

;y

0;

z

0

) và cĩ 1 véctơ chỉ phương

u

=

( ; ; )

a b c

phương trình

x x at

=

+

 = +

0

=

=

y y bt

tham số là:

. Nếu a.b.c

0 thì phương trình chính tắc là:

x x

0

y y

0

z z

0

 = +

a

b

c

z z ct

-Nếu chưa tìm được ngay 1 véctơ chỉ phương của đường thẳng d, ta đi tìm 2 véctơ

a b

 

,

 

Dạng 1:Đường thẳng d đi qua A cĩ một véctơ chỉ phương

u

Phương pháp giải:

B1:Chỉ rõ (d) đi qua A(x

0

;y

0;

z

0

) cĩ một véctơ chỉ phương

u

=

( ; ; )

a b c

B2 : Viết phương trình đường thẳng (d) theo yêu cầu.

Ví dụ : Viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và cĩ VTCP

a

=

(2; 3;1)

.

Giải:

Đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và cĩ VTCP

a

=

(2; 3;1)

. Phương trình chính tắc

5 2

x

t

= +

 = −

x

=

y

=

z

4 3

y

t

là :

5

4

1

. Phương trình tham số là

2

3

1

1

z

t

Dạng 2:Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B.

B1 : Tìm véctơ



AB

B2 : Viết phương trình đường thẳng d qua A cĩ VTCP



AB

Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 4)

Ta cĩ



AB

=

(3; 2; 1)

:

Đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3), cĩ 1 VTCP là



AB

=

(3; 2; 1)

Phương trình tham số là

1 3

2 2

 = +

3

Dạng 3:Đường thẳng d qua A và song song ∆

B1:Tìm véctơ chỉ phương

a

của

B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A cĩ VTCP

a

1 2

3 3

 = +

= − +

Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với

:

y

x

t

t

 =

4

Giải:

Đường thẳng

cĩ 1 VTCP là

a

=

(2; 3; 4)

2 2

3

Đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3), cĩ 1 VTCP là

a

=

(2; 3; 4)

phương trình là:

 = +

=

 = − +

3 4

Dạng 4:Đường thẳng d qua A và vuơng gĩc mp(α)

B1:Tìm véctơ pháp tuyến

n

của mp(

α

)

B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A cĩ VTCP

n

Ví dụ : Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) và vuơng gĩc (P):

x y z

+ − + =

5 0

Mp(P) cĩ 1 VTPT là:

n

=

(1; 1; 1)

Đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) vuơng gĩc với (P) nên cĩ 1 VTCP là:

n

=

(1; 1; 1)

x

=

y

+

=

z

phương trình chính tắc là:

2

1

3

1

1

1

Dạng 5:Đường thẳng d qua A và vuơng gĩc d

1

, d

2

( d

1

khơng song song hoặc trùng d

2

)

của (d

1

),véctơ chỉ phương

b

của (d

2

)

B2: Tính

u a b

=

[ ; ]

 

B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A cĩ VTCP

u

Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuơng gĩc với hai đường thẳng

1 2

= −

x

=

y

=

z

+

(d

1

):

và (d

2

):

1

2

1

 = −

2

1

3

Đường thẳng d

1

cĩ 1 VTCP là

a

= −

( 2; 1; 1)

.

.

u a b

=

[ ; ] (2;4;0)

 

=

Đường thẳng d

2

cĩ 1 VTCP là

b

=

(2; 1; 3)

Đường thẳng d cĩ 1 VTCP là

u

=

(2;4;0)

và đi qua M(1;1;4)

phương trình là:

Dạng 6:Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng.

B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là:

n n

 

P

;

Q

B2: Tính

u

=

[ ; ]

n n

 

p

Q

B3: Tìm một điểm đi qua A của giao tuyến bằng cách cho x=0 thế vào phương trình 2 mặt phẳng

giải hệ 2 phương trình 2 ẩn y, z tìm được y

0

; z

0

A(0; y

0

; z

0

) là một điểm thuộc giao tuyến

B4:Viết phương trình đường thẳng d qua A cĩ VTCP

u

Ví dụ :

Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P):x-2y+z+5=0,(Q):2x-z+3=0.

Mặt phẳng (P) cĩ 1 VTPT là

n



1

=

( 1; 2; 1)

Mặt phẳng (Q) cĩ 1 VTPT là

n

2

=

(2; 0; 1)

.

u n n

  

=

[ ; ] (2;3;4)

1

2

=

y z

y

− + = −

=

=

=

Cho x=0 thế vào phương trình mp(P) và mp(Q) ta được hệ :

2

5

4

3

3

z

z

d đi qua

x y

=

=

z

A(0 ;4 ;3). Mặt khác d cĩ 1 VTCP

u

=

(2;3;4)

phương trình là:

4

3

2

3

4

Dạng 7:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P),

(Q).

B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là:

n n

 

P

;

Q

Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua điểm

M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2 = 0.

Giải .

Ta cĩ

n

P

= (2; 3; -2);

n

Q

=(1; -3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q). Do d //(P) và

d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là

u

= [

n

P

,

n

Q

] = (-3; - 4; -9).

x

=

t

y

Phương trình tham số của d là:

z

9

5

Dạng 8:Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, cắt và vuơng gĩc với đường thẳng

.

B1:Đưa phương trình đường thẳng

về dạng tham số

.

B2 :Tìm véctơ chỉ phương

u

của đường thẳng

.

B3: Gọi B= d

∩∆⇒

B(x

0

+at ; y

0

+bt ; z

0

+ct)

AB



B4: Do d vuơng gĩc với

∆⇔

u

= 0

t

AB



.

AB



B5:Viết phương trình đường thẳng d qua A cĩ VTCP



AB

Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d’ cĩ phương trình

x t

=

. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2;-2), cắt và vuơng gĩc với d’.

2

Giải

Đường thẳng d’ cĩ 1VTCP là

u



1

(1; -1; 2)

Gọi B= d

d’

B

d’

B(t ; 1 - t ; 2t)



AB

(t – 1 ; -t – 1 ; 2t + 2)

− −

6t + 4 = 0

t =

2

Do d

d’

 

AB u

.

1

=

0

3

=>



AB

5 1 2

;

;

3 3 3

Đường thẳng d đi qua A cĩ 1VTCP

u

= −

3.



AB

=

(5; 1; 2)

x

y

z

+

=

=

Vậy phương trình của d là :

1

2

2

5

1

2

Dạng 9:Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuơng gĩc với đường thẳng

.

B1:Tìm giao điểm A của (P) và

.

B2 :Tìm véctơ chỉ phương

a

của đường thẳng

.VTPT

n

của mp(P)

B3:

u a n

=

[ ; ]

 

B4: Viết phương trình đường thẳng d qua A cĩ VTCP

u

=

+

=

Ví dụ:Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng

:

x 1 y 3 z 3

1

2

1

và mp(P): 2x + y – 2z + 9 =

0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) vuơng gĩc với

và cắt

.

Gọi A=

(P)

toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ

1

3

x

y

+

 −

+ = −

=

1

2

2

1

0

x y

x

x

z

x z

y

1

3

4

1

=

+ =

= −

A(0 ;-1 ;4)

1

1

+

+

=

+

= −

=

2x y – 2z

9

4

2x y – 2z 9 0



đường thẳng

cĩ 1 VTCP

a

=(-1;2;1), mp(P) cĩ một VTPT

n

=

(2;1; 2)

d nằm trong (P) vuơng gĩc với

d cĩ 1 VPCP

u

=

n a

 

;

=

(5;0;5)

và d đi qua A(0 ;-1 ;4)

 = −

1

(

)

y

t R

phương trình tham số của d là

4 5

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

+

=

=