CHO ĐƯỜNG TRÒN (O; R) VÀ MỘT ĐƯỜNG THẲNG D KHÔNG CÓ ĐIỂM CHUNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Câu 4( 3 điểm):Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường

tròn. Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B

là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O).

Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt đường thẳng AB

P

d

tại E.

M

E

a) Chứng minh rằng BE.MB = BC.OB

b) Gọi N là giao điểm của CM với OE. Chứng minh rằng

B

đường thẳng đi qua trung điểm của 2 đoạn thẳng OM và

CE vuông góc với đường thẳng BN.

I

K

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB khi điểm M di chuyển

H

N

trên đường d, biết R = 8cm và khoảng cách từ O tới

đường thẳng d bằng 10cm.

C

A

O

a) Ta có ^MAO = 90

^o

= ^MBO (Do MA, MB là tiếp tuyến

của (O)



tứ giác MAOB nội tiếp



^BMO = ^BAO

mà ^BAO = ^BCE (cùng chắn cung BC của (O))



^BMO = ^BCO (1)

Ta lại có ^ABC = 90

^o

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)



CB



AE

 ^

CBE = 90

^o

= ^MBO (2)

(1) và (2)



MBO

ഗ

CBE

 MB OBCB  EB

BE.MB = BC.OB (đpcm).

b) Gọi I, L

lần lượt là

trung điểm OM, CE. Ta chứng minh IK



BN.

Ta có ^AMO = ^CAE (cùng phụ ^MOA), ^MAO = 90

^o

= ^ACE (cmt)



MAO

ഗ

ACE

 MA AO MA 1 AC2 MA ACAC  CE 2OC CE  OC CE

(do O là trung điểm của AC)

Kết hợp với ^MAC = 90

^o

= ^OCE (cmt)



MAC

ഗ

OCE



^MCA = ^OEC

mà ^MCA + ^NCE = ^OCE = 90

^o



^OEC +^NCE = 90

^o



ENC vuông tại N.



MNO vuông tại N mà NI là trung tuyến (gt)



NI = ½ MO

Ta cũng có BI là trung tuyến của tam giác vuông MBO

 BI = ½ MO  NI = BI = ½ MO (1) Tương tự ta cũng có NK, BK là trung tuyến của 2 tam giác vuông ENC và EBC  NK = BK = ½ RC (2) Kết hợp với (1)  IK là trung trực của BN  IK  BN (đpcm). c) Gọi P là hình chiếu của O trên d, theo đề bài ta có OP = 10cm, OB = R = 8cm. Ta có MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau), OA = OB = R  MO là trung trực của AB  MO  AB tại trung điểm H của AB  AB = 2BH (3) Áp dụng định lý Pitago cho BHO, ta có BH

²

= BO

²

– OH

²

 BH = R

²

OH

²

 64 OH

²

(4) MBO vuông tại B có BH là đường cao  OH.OM = OB

²

= R

²

 OH R

²

8

²

64   (5) OM OM OMTừ (3), (4), (5) ta có AM nhỏ nhất  BH nhỏ nhất  OH lớn nhất  OM nhò nhất  M trùng P. Khi đó OM = OP = 10cm  OH = 64:10 = 6,4 (cm)  BH = 64 6,4

²

4,8(cm)  AB = 2BH = 2.4,8 = 9,6 (cm). Vậy AB nhỏ nhất bằng 9,6cm khi M trùng P (M là hình chiếu của O trên d).