CHO TAM GIÁC ABC CÓ BA GÓC NHỌN NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN O;R . CÁC ĐƯỜNG...

Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn



^{O;R .}



Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Các đường thẳng BE và CF lần lượt cắt đường tròn



^{O; R}



tại Q và K.

A

a) * ΔBCF:

BFC



90

⁰

(CF là đường cao)

Q



ΔBCF nội tiếp đường tròn đường kính BC



B, C. F thuộc đường tròn đường kính BC (1)

E

M

K

O

* ΔBEC

BEC



90

⁰

(BE đường cao)

F

H



ΔBEC nội tiếp đường tròn đường kính BC



B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC (2)

B

C

I

D

Từ (1) và (2)



B, C., E, F thuộc đường tròn đường kính BC

A'

Hình 53

b) *Xét đường tròn đi qua bốn điểm B, C, E, F:

EBC



CFE

(góc nội tiếp cùng chắn cung

CE

)

*Xét (O):

EBC



CKQ

(góc nội tiếp cùng chắn

QC

 







CFE

CKQ

EBC

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị



(d.h.n.b)

EF / /

KQ

BEF



BQK



EF QK

c) Kẻ đường kính

AA

^'

cắt

EF

tại

M

ΔABE đồng dạng ΔACF (g.g) ΔAEF đồng dạng ΔABC (c.g.c)





(hai góc tương ứng)

ABC

AEF

Xét (O):

AAC

^'



ABC

(góc nội tiếp chắn cung AC)





AAC

'

AEF

 

AME

đồng dạng với



ACA

^'

(g.g)











tại

M

'

90

ACA

AME

OA

FE

Tương tự ta chứng minh được

OB



FD OC

,



DE

Do đó

_OAE

¹

.(

)

¹

.

S



S

OAF



OA ME



MF



R EF

.

2

2

Tương tự ta có

¹

S



S



R FD



;

¹

S



S



R DE



.

OFB

ODB

2

ODC

OEC

2

Vậy

¹

⁽

⁾

¹

S

ADC



R DE



DF



FE



R

. Chu vi tam giác

DEF

. Vì

R

không đổi nên chu vi tam giác

DEF

lớn nhất khi

S

_ABC

lớn nhất. Mà

BC

cố định nên

S

_ABC

lớn nhất khi

AD

lớn nhất. Ta có

AD



AI, AI



AO



OI



AD



AO OI



, dấu “=” xảy ra



I O A

, ,

thẳng hàng

A

là điểm chính giữa cung lớn

BC

.