CHO HAI ĐƯỜNG TRÒN (O) VÀ (O’) TIẾP XÚC NGOÀI TẠI A. KẺ TIẾP TUYẾN CHU...

Bài 10: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung DE, D thuộc đường tròn tâm O, E thuộc đường tròn tâm O’. Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE. a, Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao? b, Chứng minh IM.IO=IN.IO’ c, Chứng minh rằng O O’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là DE. d, Tính độ dài DE biết rằng OA=5cm, O’A=3,2 cm. Hướng dẫn a) Ta có: ID và IA là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I. Suy ra ID = IA (1) Mà OD = OA Suy ra IO là trung trực của AD => IO ⊥ AD => ∠IMA = 90

^o

+ IE và IA là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại I Suy ra IA = IE (2) Mà O’A = O’E Suy ra IO’ là trung trực của AE => IO ⊥ AE => ∠INA = 90

^o

Từ (1) và (2) suy ra IA = ID = IE Suy ra tam giác DAE vuông tại A => ∠DAE = 90

^o

Tứ giác MINA có 3 góc ∠IMA = 90

^o

; ∠INA = 90

^o

; ∠DAE = 90

^o

nên tứ giác MINA là hình chữ nhật. b) Xét tam giác vuông IAO có AN ⊥ IO' : IA

²

= IM.IO (3) (theo hệ thức lượng trong tam giác). Xét tam giác vuông IAO’ có : IA

²

= IN.IO' (4) (theo hệ thức lượng trong tam giác). Từ (3) và (4) ta suy ra IM.IO = IN.IO' c) Theo trên ta có tam giác DAE vuông tại A => 3 điểm D, E, A nội tiếp đường tròn đường kính DE (5) Do IA là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (O) và (O’) => IA ⊥ OO' (6) Từ (5) và (6) ta suy ra OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE. d) Xét tam giác vuông IOO’ có IA

²

= OA . OA' => IA

²

= 5.3,2 =16(cm) Vậy IA = 4cm.