16. PHÉP TỰ ĐẲNG CẤU TUYẾN TÍNH CỦA KHÔNG GIAN VECTOR EUCL...

Câu 2.16. Phép tự đẳng cấu tuyến tính của không gian vector Euclid E được gọi là phép biến đổi trực giao nếu f bảo toàn tích vô hướng, tức là . Chứng minh tự đẳng cấu tuyến tính f là phép biến đổi trực giao của E nếu và chỉ nếu f bảo toàn chuẩn của vector, tức là ‖ ‖ ‖ ‖ . (Đợt 2 năm 2019) Giải. Chỉ nếu. Giả sử f là phép biến đổi trực giao, khi đó ‖ ‖ ‖ ‖ Nếu. Giả sử phép biến đổi tuyến tính f bảo toàn chuẩn. Khi đó ta có: ‖ ‖ ‖ ‖ hay ‖ ‖ ‖ ‖ Suy ra . Khai triển ra ta được ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ Vì ‖ ‖ ‖ ‖ và ‖ ‖ ‖ ‖ nên . Vậy f là phép biến đổi trực giao. 3.NHÓM