1.2 .( X2 + Y2 + Z2- XY – YZ – ZX) =21 [(X− Y)2 +(X−Z)2 +(Y−Z)2...

1

.2 .( x

²

+ y

²

+ z

²

- xy – yz – zx)

=

21

[

(x− y)

²

+(x−z)

²

+(y−z)

²

]

≥0

đúng với mọi x;y;z

∈R

Vì (x-y)

²

^≥

0 với∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

(x-z)

²

≥

0 với∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z

(y-z)

²

^≥

0 với∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Vậy x

²

+ y

²

+ z

²

≥

xy+ yz + zx

Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

b)Ta xét hiệu

x

²

+ y

²

+ z

²

- ( 2xy – 2xz +2yz )

= x

²

+ y

²

+ z

²

- 2xy +2xz –2yz

=( x – y + z)

²

≥0

đúng với mọi x;y;z

∈R

Vậy x

²

+ y

²

+ z

²

^≥

2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z

∈R

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z

c) Ta xét hiệu

x

²

+ y

²

+ z

²

+3 – 2( x+ y +z )

= x

²

- 2x + 1 + y

²

-2y +1 + z

²

-2z +1

= (x-1)

²

+ (y-1)

²

+(z-1)

²

^≥

0

Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1

Ví dụ 2: chứng minh rằng :

2

2

2

  + + ++b c a b caa

;b)

a)

+ ≥+b ≥ a b33 2 

c) H`y tổng quát bài toán

giải

a

a) Ta xét hiệu

+b − a b2a

²

b

²

a

²

+ ab+b

²

= ( )

+ −41

₂

₂

₂

₂

= (

2a 2b a b 2ab

)

−+

1

2

= ( )

0≥−b

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a=b

b)Ta xét hiệu

1

2

2

2

= [ ( ) ( ) ( ) ]

⁰+−b b c c a9

Vậy

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

c)Tổng quát

 + + +a

_n

_n

1