( )2+ − −2 11 1 2+ − = =2 A A AA A A A− ≥

2.a+ −a Ta có:

( )

²

+ − −

2

11 1 2+ − = =2 a a aa a a a− ≥ . Do đó: 1a+ ≥a .a+ − ≥a , suy ra 122 0a 0Vì

(

^a−1

)

²

^{≥0 và a>0 nên}

(

¹

)

²

a+ − = + − = ≥ ⇒ + ≥ . a b a b ab a b a bb)

²

²

²

²

2

( )

²

²

²

2 2 2 0 2ab − abVí dụ 16. Với mọi , ,x y z chứng minh rằng: a) x

²

+y

²

+z

²

≥xy+yz+zxb) x

²

+y

²

+z

²

≥2xy−2xz+2yzc) ^x

²

^+y

²

^+z

²

^{+ ≥3 2}

(

^{x+ +y z}

)

Giải a) Ta có: x

²

+y

²

+z

²

−xy+yz+zx=

(

²

²

) (

²

²

) (

²

²

)

1 2 2 2=  − + + − + + − + 2 x xy y y yz z z zx x 1 0

( ) (

²

) (

²

)

²

=  − + − + − ≥2 x y y z z x Vì

(

^x−y

)

²

^≥0,

(

^y−z

)

²

^≥0,

(

^z−x

)

²

^≥0Do đó: x

²

+y

²

+z

²

≥xy+yz+zx. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= =y z. b) Ta có: ^x

²

^+y

²

^+z

²

⁻

(

^{2xy−2xz+2yz}

)

⁼= + + − + − = − + ≥

2

2

2

2 2 2 0x y z xy xz yz x y zDo đó x

²

+y

²

+z

²

≥2xy−2xz+2yzc) Ta có: ^x

²

^+y

²

^+z

²

^{+ −3 2}

(

^{x+ +y z}

)

⁼

(

^x

²

^{2x 1}

) (

^y

²

^{2y 1}

) (

^z

²

^{2z 1}

)

= − + + − + + − +

(

^{x 1}

) (

²

^{y 1}

) (

²

^{z 1}

)

²

= − + − + −Vì

(

^x−1

)

²

^≥0,

(

^y−1

)

²

^≥0,

(

^z−1

)

²

^≥0Do đó ^x

²

^+y

²

^+z

²

^{+ ≥3 2}

(

^{x+ +y z}

)

^{. D}ấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 1.Dạng 4. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp giải. Phương pháp này thường được sử dụng để chứng minh bất đẳng thức có một vế là tổng hoặc tích hữu hạn. Áp dụng tính chất của thứ tự để biến đổi tổng hoặc tích hữu hạn về một tổng hoặc tích khác mà việc tính toán đơn giản hơn. Ví dụ 17. Cho nlà số nguyên lớn hơn 1, chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 2 3 ... 2 2a) 1 1 1 1 1+ + +n +n +n + + n>b) 1

₂

1

₂

1

₂

1

₂

1... 21 +2 +3 + +n < −na) Ta có: 1 1+ (vì n+ <1 2n) 1 2n > nTương tự : 1 1 1 1 1 1; ; ...;+ + −2 2 3 2 2 1 2n > n n > n n > nDo đó: 1 1 1 1 1 1 1 1...; ... .+ + . 1 2 2 2 2 2 n 2 2n +n + n> n+ n+ + n = n =Vậy : 1 1 1 11 2 ...; 2 2n +n + n >b) Với k =2, 3,...,n ta có:1 1 1 1 1