0VẬY (N4 +3N2+1,N3+2N)=VẬY (N4 +3N2+1,N3+2N)=
1.
0
Vậy
(
n
4
+
3
n
2
+
1,
n
3
+
2
n
)
=
1.
Bài toán 2. Cho hai số tự nhiên
a
và
b a
(
>
b
).
a) Chứng minh rằng nếu
a
chia hết cho
b
thì
( , )
a b
=
b
.
b) Chứng minh rằng nếu
a
không chia hết cho
b
thì ƯCLN của hai số bằng ƯCLN
của số nhỏ và số dư trong phép chia số lớn cho số nhỏ.
c) Dùng các nhận xét trên để tìm ƯCLN(72, 56)
(Nâng cao và phát triển lớp 6 tập 1)
Hướng dẫn giải
a) Mọi ước chung của
a
và
b
hiển nhiên là ước của
b
. Đảo lại, do
a
chia hết cho
b
nên
b
là ước chung của
a
và
b
. Vậy
( , )
a b
=
b
.
b) Gọi r là số dư trong phép chia
a
cho
b a
(
>
b
).
Ta có
a
=
bk
+
r k
(
∈
N
),
cần chứng
mình rằng
( , )
a b
=
( , ).
b r
Thật vậy, nếu
a
và
b
cùng chia hết cho
d
thì
r
chia hết cho
d
, do đó ước chung của
a
và
b
cũng là ước chung của
b
và
r
(1).
Đảo lại nếu
b
và
r
cùng chia hết cho
d
thì
a
chia hết cho
d
, do đó ước chung của
b
và
r
cũng là ước chung của
a
và
b
(2).
Từ
(1)
và
(2)
suy ra tập hợp các ước chung của
a
và
b
và tập hợp các ước chung của
b
và
r
bằng
nhau. Do đó hai số lớn nhất trong hai tập hợp đó cũng bằng nhau, tức là
( , )
a b
=
( , ).
b r
c)
72
chia
56
dư 16
nên
(72, 56)
=
(56,16)
;
56
chia 16
dư
8
nên
(56,16)
=
(16,8)
;
16
chia hết cho
8
nên
(16,8)
=
8
. Vậy
(72, 56)
=
8.
Nhận xét : Giả sử
a
không chia hết cho
b
và
a
chia cho
b
dư
r
1
,
b
chia cho
r
1
dư
r
r
1
chia cho
r
2
dư
r
3
,....,
r
n
−
2
chia cho
r
n
−
1
dư
r r
n
,
n
−
1
chia cho
r
n
dư
0
( dãy số
b r r
, , ,...
1
2
r
n
là
CH
UY
ÊN
Đ
Ề
S
Ố
H
Ọ
C