BÀI TOÁN TỔNG HỢP .BÀI TOÁN 6A
6. Bài toán tổng hợp .
Bài toán 6a :
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm . M là điểm bất kỳ trong tam giác .
Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lợt là giao điểm của AM với BC; BM với AC; CM với AB .Đờng
thẳng GM cắt AB,AC,BC lần lợt ở C
2
, B
2
, A
2
.
MB
1
a. Chứng minh :
+ =1
MA
1
BB +
1
MC
1
CC
1
AA
1
+ =3
b. Chứng minh :
GA
1
GB +
1
MC
1
GC
1
1
1
1
c. Chứng minh :
GB +
2
=
GC
2
GA
2
Giải :
A
C
2
B
2
G M
B D A
1
A
2
M
1
C
a. MA
1
/AA
1
= MM
1
/AD = S
MBC
/S
ABC
.
Tơng tự có MB
1
/BB
1
= S
MAC
/S
ABC
MC
1
/CC
1
= S
MAB
/S
ABC
.
Cộng các đẳng thức trên ta đợc :
MA
1
/AA
1
+ MB
1
/BB
1
+MC
1
/CC
1
= (S
MBC
+S
MAC
+S
MAB
)/S
ABC
= 1 (đpcm )
b. Qua G kẻ đờng thẳng song song với AA
1
cắt BC tại M
2
. Có
GM
2
/ AA
1
= 1/3 => AA
1
=3GM
2
.
MA
2
/GA
2
= MA
1
/GM
2
= 3MA
1
/AA
1
.
Tơng tự ta cũng có MB
2
/GB
2
= 3MB
1
/BB
1
.
MC
2
/GC
2
= 3MC
1
/CC
1
MA
2
/GA
2
+MB
2
/GB
2
+MC
2
/GC
2
= 3( MA
1
/AA
1
+ MB
1
/BB
1
+MC
1
/CC
1
) = 3
( Theo câu a )
c. Qua G kẻ các đờng thẳng
song song với BC,AC. Các đờng thẳng
G
2
này cắt AB lần lợt ở G
1
,G
2
.
Dễ dàng có AG
2
= G
1
B = AB/3
C
2
G
AG
2
=G
2
G
1
= G
1
B = AB/3
G
1
GC
2
/GA
2
= C
2
G
1
/G
1
B = 3C
2
G
1
/AB
A
2
B C
GC
2
/GB
2
=C
2
G
2
/G
2
A = 3G
2
C
2
/AB
Cộng hai đẳng thức trên ta đợc :
GC
2
/GA
2
+ GC
2
/GB
2
= 3(C
2
G
1
+ G
2
C
2
)/AB = 3 G
1
G
2
/AB = 1
Chia hai vế cho GC
2