GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU X XXXA) C) X X2  2X1  X1X . X 122X...

1. Phương trình bậc nhất

Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = 0

 a ≠ 0: Phương trình cĩ nghiệm duy nhất x= 

^b

a

 a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vơ nghiệm  a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x (vơ số nghiệm) * Chú ý: + Trước khi giải và biện luận phương trình bậc nhất ta phải đưa phương trình về dạng ax+b = 0 . + khi biện luận a=0 thì thay giá trị m vừa tìm được vào b . + Khi a



0 thì phương trình ax+b = 0 mới được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - 2 (1) Giải Phương trình (1)  (m - 1)x = m

²

+ m – 2 (1a) Ta xét các trường hợp sau đây :

+ Khi (m-1)

≠

0  m

≠

1 nên phương trình (1a) cĩ nghiệm duy nhất

2

2

m

m





x =

1

m



= m – 2 ;nên pt(1) cĩ nghiệm duy nhất

+) Khi (m – 1) = 0  m = 1 . phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm

đúng với mọi x  R; nên pt(1) đúng với mọi x  R.

Kết luận :

m

≠

1 : nghiệm là x= m-2 (Tập nghiệm là S = {m - 2})

m = 1 : đúng  x R (Tập nghiệm là S = R)

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2) Giải Ta cĩ (2)  mx-m = 2x+1  (m-2)x = m+1 (2a) (cĩ dạng ax+b =0) Biện luận:





x

m

+ nếu m-2



0 m



2 thì (2a) cĩ nghiệm duy nhất



2

+ nếu m-2= 0 m = 2 thì (2a) trở thành 0x=3; pt này vơ nghiệm, nên (2) vơ nghiệm. Kết luận:

x

m

m2 thì (2) cĩ nghiệm m=2 thì (2) vơ nghiệm. Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình m

²

x+2 = 2m-2 (3) Giải Ta cĩ: (3) m

²

x-x = 2m-2  (m

²

-1)x = 2(m-1) (3a) Biện luận: + Nếu m

²

-10  m



1

thì (3a) cĩ nghiệm duy nhất

)

(





x

m

; nên (3) cĩ nghiệm duy nhất.

2





+ Nếu m

²

-1=0  m=



1

- với m=1 :(3a) cĩ dạng 0x= 0, (3a) đúng với mọi x



R (phương trình cĩ vơ số nghiệm), nên (3) cĩ vơ số nghiệm. - với m=-1: (3a) cĩ dạng 0x=-4; (3a)vơ nghiệm, nên (3) vơ nghiệm. Kết luận: + m≠1 và m≠ -1 thì (3) cĩ nghiệm duy nhất + m =1 thì (3) cĩ vơ số nghiệm + m= -1 thì (3) vơ nghiệm. Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m :

3



mx

(*)

1

1



x

Giải Với x-1 thì (*)  mx-m-3 = x+1  (m-1)x = m+4 (**) Biện luận (**) với x-1

4













m





1

3

1

4

+ Nếu m 1 thì (**) cĩ nghiệm





+ Nếu m=1: (**) 0x=4, vơ nghiệm Kết luận :



3

thì (*) cĩ nghiệm x=

m

4

m



1 và m







m

thì (*) vơ nghiệm

3



Ví dụ 5:giải và biện luận phương trình theo tham số m:

mx

(1)



x

m

1









(2)

1

x

m

Ta cĩ (1)

_

mx

(3)

-3x

-

m

+ giải và biện luận (2) (2) (m-3)x= m-3 . nếu m3 thì (2) cĩ nghịêm x=1 . nếu m=3 thì (2)0x = 0 =>(2) cĩ vơ số nghiệm + giải và biện luận (3) (3)(m-3)x=-m+3 . nếu m



-3 thì (3) cĩ nghiệm x= . nếu m = -3 thì (3) 0x=4, vơ nghiệm Kết luận: - với m3 và m-3 : (1) cĩ hai nghiệm x

1

=1 và x

2

= - với m=3: (1) cĩ vơ số nghiệm - với m=-3:(1) cĩ nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) )