CHO TAM GIÁC ABC CÓ BA GÓC NHỌN NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN TÂM (O) ; H...

Bài 3.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O) ; H là trực tâm của tam giác, M là điểm trên

cung BC không chứa A

a) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.

b) Gọi N , E lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC.

Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng.

c) Xác định vị trí của điểm M để NE có độ dài lớn nhất.

Giải :

a) Ta có : BH  AC và CH  AB nên để BHCM là hình bình hành thì MC  AC tại C

và MB  AB tại B

A

Do đó AM là đường kính đường tròn tâm (O)

b) Ta có : E đối xứng của M qua AC

 EC  AC và EC = MC 

EC // BH và EC = BH

H

Vậy BHEC là hình bình hành

E

N

Chứng minh tương tự :

BNHC cũng là hình bình hành

O

Suy ra : HE // BC và HN // BC

B C

Theo Tiên đề Euclide, qua H có duy nhất

Một đường thẳng song song với BC

Hay nói khác đi : N, H, E thẳng hàng

1

M

2 NE  NE lớn nhất khi và chỉ khi BC lớn nhất

c) Theo cmt : BC =

tức là dây cung BC lớn nhất khi và chỉ khi BC là đường kính

khi đó tam giác ABC vuông tại A nên trực tâm H trùng với A

và M là điểm đối tâm của A

E'

N'

C'

B'