CHO TỨ DIỆN ABCD . GỌI G1, G2, G3 LẦN LƯỢT LÀ TRỌNG TÂM CỦA CÁC TAM...
6. Cho tứ diện ABCD . Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD , ADB
a. Chứng minh : ( G
1
G
2
G
3
) //( BCD )
b. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng ( G
1
G
2
G
3
)
Tính diện tích thiết diện theo diện tích của tam giác BCD là S
Giải
a. Chứng minh : ( G
1
G
2
G
3
) //( BCD )
A
Gọi M , N , L lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CD và BD
AG
3
2
1
= = =
2
Ta có :
AL
AM
3
AN
⇒ G
1
G
2
// MN ; G
2
G
3
// NL ; G
3
G
1
// LM
G 3
G
E
G
MN
//
1
⇒
⇒ ( ) //( )
BCD
NL
G 2
G 1
3
F
⊂
(
)
,
D
L
B
Vậy : ( G
1
G
2
G
3
) //( BCD )
M N
b. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng ( G
1
G
2
G
3
) :
C
//(
BC
gt qua G
1
// BC cắt AB và AC tại E và F
Ta có : ⇒
∈
∩
ABC
Tương tự : ( G
1
G
2
G
3
) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD
( G
1
G
2
G
3
cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD
Xét tam giác AMC và tam giác ABC
AG (1)
1
= = 2
AF
Ta có : G
1
F // MC ⇒
AC
EF = (2)
EF // ⇒
EF
Từ (1) và (2), ta được
= 2
⇒ EF . BC
Tương tự : FG . CD
BD
GE .
. 2
2 BC CD GE BC CD GE
⇒ ( )
EF + + = + + = + +
FG
GE
1 EF FG GE EF FG GE EF GE FG FG GE EF
S
EFG
= + + + − + − + −
Diện tích thiết diện : . ( ).( ).( ).( ).
4
. 4
1 BC + CD + DB BC + CD − DB BC + DB − CD CD + DB − BC
= . ( ).( ).( ).( )
9
= . S
BCD
= 4
Vậy : S
EFG
. S
BCD