2 0 0N M PN M PM PM   * XÉT C  0- NẾU A   0 B   0 F X  ...

2 . 2 0 0

n m pn m pm pm

   

* Xét c  0

- Nếu ^{a   0 b   0 f x}   là đa thức không, do đó ^{f x}   sẽ có nghiệm

trong  ^0;1 

- Nếu a  0 , từ giả thiết b n 1

    và

a m

    ^{0 b}  ^0;1 

f x x ax b x

      a 

2

  

n pm n

. 0 2 0 0

* Xét c  0 ta có:      

f f f f x

có nghiệm

  

 

m pm

 

hoc360.ne t

 

 

0; n 0;1

x m

   

VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC

2 TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

GTLN,GTNN (Phương pháp miền giá trị hàm số)

 

ax bx c

y mx nx p

Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

   với

2 0

mx  nx  p   x .

Phương pháp:

Gọi y ₀ là một giá trị của biểu thức: Khi đó

   

       

y y m a x y n b x y p c

0 ax 2 bx c 0 0 0 0

  . (*)

mx nx p

Group: https://traloihay.net

60

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn ph

Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu ₀ 0 ₀ a

y m a y

    m thay vào   * ta tìm được x suy ra y ₀ ^a

 m là

một giá trị của biểu thức.

    m thì (*) là phương trình bậc 2 ẩn x . Điều kiện

để phương trình có nghiệm là:   0 . Từ đó ta suy ra điều kiện của y ₀ . Trên

cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức.

+ Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả

2 2

       

b b

sau: Ta có:  

a f x a x a x

           

. Từ đó suy ra

. 2

2 4 2 4

a a a

 

 

Nếu   0 thì ^{a f x .}   ^{ 0  a f x ,}   luôn cùng dấu. Một kết quả thường

xuyên sử dụng trong giải toán là: “Nếu tam thức bậc 2 : ^{f x}   ^{ ax 2  bx c }

có ^{a  0,    0 f x}   ^{ 0,  x .”}

Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:

y x

a)

   .

2 5 7

x x

8 7

 

P x

  ^.

b)

1

2 2 9

x xy y

c)

A x xy y

   với y  0 .

2 5

2 12

x xy

 

d)

A xy y

1 2 2

  biết x ²  y ²  1 (Đề TS ĐH khối B- 2008)

Group: https://traloihay.net 61

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Lời giải:

2 5 3

a) Do

5 7 0

x x  x 

       

2 4

  ,  x suy ra biểu thức y luôn xác

định với mọi x . Gọi y ₀ là một giá trị của biểu thức khi đó ta có:

y x y x y x y

     

0 2 0 1 5 0 7 0 0

    * .

5 7

+ Nếu ₀ 1 5 7 0 ⁷

y    x    x  5 điều đó có nghĩa là y ₀  1 là một giá

trị của biểu thức nhận được.

+ Nếu y ₀  1 thì (*) là một phương trình bậc 2 có

 5 y 0  ² 4.  y 0 1 .7  y 0 y 0  28 3 y 0 

      . Phương trình có nghiệm khi và

chỉ khi 0 0 ₀ ²⁸

     . Để ý rằng với mỗi giá trị y ₀  0 hoặc

y 3

28

0

y  3 thì   0 nên

x y

5 0

+ GTNN của y là 0 khi và chỉ khi

  y 

 .

2 1