CHO HÌNH CHÓP TỨ GIÁC ĐỀU S.ABCD. MẶT PHẲNG (P) QUA A VÀ VUÔNG GÓC VỚI...

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt

SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Biết rằng AB = a, ^SB _SB ^{' =} ₃ ²

0966959635

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD

b) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

Giải

S

a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD

Gọi H’ là giao điểm của SH và mp (P).

Do S.ABCD là hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và

BD.

D’ C’

E

⊥ BD ( SAC )

H’

 ⇒ ⊥

SH

BD ⇒ BD ⊥ SC.

D C

⊥

AC

BD

 

B’

Do mp (P) ⊥ SC ⇒ BD // mp (P)

H



//(

P

)

A B

 

⇒

⊂ BD // B ' D '

(

SBD

Do  

=

∩

B

'

D

⇒ ^SD _SD ^{' = SH} _SH ^{' = SB} _SB ^{' =} ₃ ² , H’D’ = H’B’ va B’D’ ⊥ AC’

Qua H kẻ đường thẳng song song với AC’ cắt SC tại E. Khi đó: EC’ = EC, ^SC _SE ^{' =} ₃ ²

⇒ ^SE _SE ^{− SC ' = 1} ₃ ^{= EC} _SE ^' ⇒ SC’ = 2EC’ = CC’

S

= ⋅ ⋅ =

.B'CDS

= ⋅ = , ^V _{V 3} ² ₃ ² ₂ ¹ ₉ ²

AB

Ta có: ^V _{V 3} ² ₃ ² ₉ ⁴

ABDSBCD

V

_S.ABCD

Ta có: V

S.ABD

= V

S.BCD

=

2

 

V

1

4  =

⇒ V

S.AB’C’D’

= V

S.AB’D’

+ V

S.B’C’D’

=

S.ABCD

V

S.ABCD

  +

3



9

b) Theo cm trên: AC’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác SAC

nên SA = AC ⇒ tam giác SAC đều ⇒ SH = ₂ ^{3 AC =} ₂ ^{3 a 2 =} ₂ ^{6 a}

a 6

6 = ⇒ V

S.AB’C’D’

= ^a

³

6

V

S.ABCD

= ₃ ¹

³

^a

³

18