CHO HÌNH CHÓP SABCD CÓ TẤT CẢ CÁC CẠNH BẰNG NHAU. CHỨNG MINH RẰNG SABC...

1 .

V  S SA

S ABC

3

ABC

và SA a 

a)Ta có:

^.

3

V  a a  a

1

2

S a

 

1 1

2

. .

SABC

ABC

2

Þ

3 2 6

+ ^{ ABC c n c â ó : AC a  2  AB a }

2SG

b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm,ta có :

3SI 

SM SN SG

2

   

 _{// BC}  MN// BC

SB SC SI

3

V SM SN

. 4

4 2

3

V  V  a

SAMN

  

9

V SB SC

SAMN

SABC

9 27

. Vậy:

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a  . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với (ABC)

lấy điểm D sao cho ^{CD a } . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.

a) Tính ^V

^ABCD

b) Chứng minh CE  ( ABD ) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

Phân tích : *) Dựng tam giác ABC vuông cân tại A và SC  (ABC)

*) Dựng mặt phẳng qua C và  BD cho thiết diện CEF.

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

*) Phân tích V=

^{Bh / 3}

để tìm B và h của ABCD là các đối tượng nào ?

*) Tìm diện tích B của ABC bằng công thức nào ?

*) Chứng minh CE vuông góc với 2 đường thẳng nào trong mặt phẳng (ABD)?

*) Tính trực tiếp thể tích CDEF phức tạp ta phải làm sao ? Lập tỉ số thể tích của DCEF và DABC bằng tỉ

số các đại lượng hình học trong tam giác vuông nào ?

Lời giải:

V  3 S .CD  6

ABCD

1

ABC

a

a)Tính V

^ABCD

:

b)Tacó: AB  AC AB ,  CD  AB  ( ACD )  AB  EC

Ta có: DB  EC ^{ EC  ( ABD )}

V DE DF

DCEF

. (*)

V  DA DB

:Ta có:

c) Tính V

^DCEF

DABC

2

2

1

DE DC a

2 2

DA DA a

Mà DE DA DC . 

²

, chia cho DA

²

DF DC a1

2

2

2

DBDB DC CB 

Tương tự:



V

1

3

6

 V 

DCEF

ABCD

6 36

.Vậy

Từ(*)

Ví dụ 3. Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng ( ) qua A, B và trung điểm M của SC .

Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

Phân tích.

*) Dựng tứ giác đều ABCD và SO  (ABCD)

*) Dựng (ABM) // CD để có điểm N ?

*) Dựng BD và BN . Tại sao ?

*) Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

*) Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?

*) Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?

*) Lập tỉ số thể tích của SABN với SABD ; SAMN với SABC ?

nam

Kẻ MN // CD (N  SD ) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối

chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

1   

SN

SAND

V V V



4

SD

*)

^SADB

^SANB

^SADB

^SABCD

SM

. 1

.  1    

SBMN

V V V

8

SC

*)

^SBCD

^SBMN

^SBCD

^SABCD

5

Mà V

SABMN

= V

SANB

+ V

SBMN

= V

^SABCD

. ^Þ V

ABMN.ABCD

= V

^SABCD

SABMN

Do đó : 5

.

ABCD

ABMN

Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60

^

_.

Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.

a) Hãy xác định mp(AEMF)

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Phân tích:

*)Xác định góc giữa SA và ABCD là góc nào ?

*)Phân tích ^{V = Bh / 3} để tìm B và h của SABCD là các đối tượng nào ?

*)Tìm h = SO qua tam giác và hệ thức lượng giác nào?

*)Phân tích hai chóp tứ giác thành các chóp tam giác nào để lập tỉ số ?

*)Tính thể tích của SAEMF quá phức tạp thì sao ?Lập tỉ số thể tích của SAEMF và SABCD bằng cách nào ?

*) Hãy so sánh thể tích của SABD và SBCD với SABCD ?

*) Lập tỉ số thể tích của SAMF với SACD ?

a) Gọi I  SO  AM . Ta có (AEMF) //BD  EF // BD