A SIN X + P B2 SINPX+Q2C SIN QX = 0 (VỚI P,Q LÀ CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG LẺ...

Bài 4: Pt: a sin x + p b

²

sinpx+q

²

c sin qx = 0 (với p,q là các số nguyên dương lẻ) cĩ ít

nhất bao nhiêu nghiệm trên [0;2 ] p ?

Giải: Xét pt: f(x)= asinx+bsinpx+csinqx=0 . (0) f = f ( ) p = f (2 ) p nên pt

'(x) osx .cos .cos 0

f = ac + pb px + qc qx = cĩ 2 n

₀

x x

₁

,

₂

: 0 < < < x

₁

p x

₂

< 2 p

Vì p,q là các số nguyên dương lẻ nên ta cĩ : '( ) 0 '( )

₁

'(

₂

) '( ) 0

f p _{= Þ} f x ₌ f x ₌ f p ₌

2 2

Þ pt f’’(x)= a sin x + p b

²

sinpx+q

²

c sin qx = 0 cĩ 2 n

₀

y y

₁

,

₂

:

p _< p _{< , Hơn nữa}

M in{x , }<y ax{x , }<y

"(0) "( ) 0

f = f p =

1

1

1

2

2

2 M 2 x

Vậy pt: f”(x)=0 cĩ ít nhất 4 nghiệm trên [0;2 ] p .

3. Ứng dụng đ/l Lagrang để chứng minh Bất Đẳng Thức:

< - <

Phương pháp:* Để c/m Bđt cĩ dạng: f a ( ) f b ( )

m M

- ta xét hàm số y=f(x) thỏa

a b

Ỵ = -

mãn điều kiện đ/l Lagrang trên [a;b], khi đĩ cĩ ( ) ( )

( ; ) : '( ) f a f b

c a b f c

- sau đĩ ta

chứng minh: m<f’(c)<M

* Để c/m Bđt cĩ dạng : m £ f a ( ) - f b ( ) £ M ta xét hàm số y=f(x) thỏa mãn điều kiện

đ/l Lagrang trên [a;b], khi đĩ cĩ c Ỵ ( ; ) : ( ) a b f a - f b ( ) = f c a '( )( - b )

sau đĩ ta chứng minh: m<(a-b)f’(c)<M

- < < -