CHO NỬA ĐƯỜNG TRÒN (O) ĐƯỜNG KÍNH AB = 2R. GỌI M LÀ MỘT ĐIỂM THAY ĐỔI...
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thay đổi trên tiếp tuyến Bx
của (O). Nối AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN.
a) Chứng minh: ΔAIO ∼ ΔBMN ; ΔOBM ∼ ΔINB
b) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn
Vì I là trung điểm của AN => OI ⊥ AN => ∠ AIO = ∠ ANB = 90
o
Do Bx là tiếp tuyến với (O) tại B
=> ∠ NBM = ∠ IAO = 1/2 sđ
BN=> ΔAIO ∼ ΔBMN (g.g)
Vì ∠ OIM = ∠ OBM = 90o
=> các điểm B, O, I, M cùng thuộc đường tròn đường kính MO
suy ra ∠ BOM = ∠ BIN
Xét ΔOBM và ΔINB có:
∠ OBM = ∠ INB
∠ BOM = ∠ BIN
=> ΔOBM ∼ ΔINB (g.g)
b) Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích ΔAIO có giá trị lớn nhất
Kẻ IH ⊥ AO ta có: S
ΔAIO
= 1/2 AO.IH
Vì AO không đổi nên SΔAIO lớn nhất ⇔ IH lớn nhất.
Nhận thấy: Khi M chuyển động trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đường kính AO.
Do đó IH lớn nhất khi IH là bán kính của đường tròn
=> ΔAIO vuông cân tại I nên ∠ IAH = 45
o
.
=> ΔABM vuông cân tại B nên BM = BA = 2R
Vậy khi M thuộc Bx sao cho BM = 2R thì S
ΔAIO