TRÍCH ĐỀ HỌC SINH GIỎI CỦA HÀ NỘI NĂM 2009 - 2010VIẾT PHƯƠNG T...
Bài 40.
Trích đề học sinh giỏi của Hà Nội năm 2009 - 2010
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
= (x
−
1)(x
3
+
x
2
+
1)
biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ
thị tại 2 điểm phân biệt.
Giải
Ta cóy
=
f
(x) =
x
4
−
x
2
+
x
−
1
⇒
f
0
(x) =
4x
3
−
2x
+
1
Gọi
(d)
là tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại hai tiếp điểm
A(a;
f
(a)),
B(b;
f
(b)),
a
6=
b
Ta có
f
0
(a) =
f
0
(b) =
f
(b)
−
f
(a)
b
−
a
vì đều là hsg của đường thẳng
(d)
f
0
(a) =
f
0
(b)
⇔
4a
3
−
2a
+
1
=
4b
3
−
2b
+
1
⇔
(a
−
1)(2(a
2
+
ab
+
b
2
)
−
1) =
0
⇔
2(a
2
+
ab
+
b
2
)
−
1
=
0
(1)(do
a
6=
b)
Từ đó ta có
f
0
(a) =
f
(b)
−
f
(a)
b
−
a
⇔
f
0
(a) +
f
0
(b)
2
=
f
(b)
−
f
(a)
b
−
a
⇔
(4a
3
−
2a
+
1) + (4b
3
−
2b
+
1)
2
= (a
2
+
b
2
)(a
+
b)
−
(a
+
b) +
1
⇔
2(a
3
+
b
3
)
−
(a
+
b) +
1
= (a
2
+
b
2
)(a
+
b)
−
(a
+
b) +
1
⇔
(a
+
b)(a
−
b)
2
=
0
⇔
a−
=
b
thay vào
(1)
ta được
a
=
±
1
√
2
.
Đến đây là suy ra được PTtt
(d)