(1,0 ĐIỂM) CHO CÁC SỐ NGUYÊN A, B, C, D VÀ SỐ NGUYÊN DƯƠNG P. CHỨNG...

2,0điểmĐK:  3 x 3 vµ x0 0,25Đặt y  3 x , (y

²

0) 0,25 Ta có hệ phương trình 1 1  x y 10,25   

2

2

x y 3x y xy    

2

(x y) 2xy 3  

   

x y 2 x y 3 0      2 xy 1   (v« nghiÖm)  xy 3    1 5x 2 (tho¶ m·n)     x y 1 y 2     0,5  xy 1 1 5   x 2(lo¹i)   y 2  0,25 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1 53 1,5điểmTa có a

⁴

b

⁴

c

⁴

a b

²

²

b c

²

²

c a , a, b, c

²

²

   ^{ 3}



^a

⁴

^b

⁴

^c

⁴



^3(a

^{2 2}

^{b b}

²

^c

²

^c

²

^a

²

^{),a, ,b c  0,5} và ^{3 a b}



²

²

^{b c}

²

²

^{c a}

²

²





^

^ab^bcca , a, b, c

^

²

   0,5 ^a

⁴

^b

⁴

^c

⁴

¹



^{ab bc ca}



²

⁴       0,253 3Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  a b c 2   a b c   3ab bc ca 24

_{3,5 điểm}

AB CPMFE Hình vẽTa có: _ABP^ _AMC^ (cùng chắn cung AC) _BAM^ _PAC^ _{ BAP}^ _^_MACNên: ABPAMCSuy ra: AB BPMC.AB MA.BP4aMA MC   (1) 0,25Mặt khác: _BMA^ _BCA^ ,_BAM^ _PAC^  ABMAPC 0,25 MB MAMB.AC MA.PC    (2) 0,25PC ACTừ (1) và (2) suy ra: MC.ABMB.ACMA.BC 0,25Từ kết quả câu a) ta có: AC ABMA MB. MC.  0,25BC BC   Do đó: AC AB        MA MB MC MB. 1 MC 14b     = AC BC AB BCMB. MC.    = AC CE AB BF  MB.AE MC.AFBCXét trường hợp N thuộc cung BC không chứa A- Nếu N khác C theo kết quả câu b) ta có     (3) NB.AE NC.AFNA NB NC- Nếu N trùng C, ta thấy (3) vẫn đúng.Mặt khác

 

2

2

2

2

2(NB.AF) NC.AE NB .AF NC .AE 

2

2

2

2

2

2

2

     

NB.AE NC.AF NB NC AE AF BC .EF (4)     4cTừ (3) và (4) suy ra NANBNCEF. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi NB.AF=NC.AE hay _NBC^ _AEF^ 0,25Xét trường hợp N thuộc cung BC chứa A, lấy N' đối xứng với N quaBC, khi đó N' thuộc cung BC không chứa A, N'A < NA, N'B = NB, N'C = NC. Áp dụng trường hợp trên ta có: NA + NB + NC < N'A + N'B + N'C  EF.Vậy trong mọi trường hợp thì NA + NB + NC có giá trị lớn nhất là EF, đạt được khi _NBC^ _AEF^ .