GỌI Z = X + YI, (X, Y ∈ R ) LÀ SỐ PHỨC THỎA MÃN BÀI TOÁN VÀ M...
Câu 45. Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R ) là số phức thỏa mãn bài toán và M (x; y) là điểm biểu diễn số
phức z.
Ta có |z − 2 − 3i| = √
10 ⇔ p
(x − 2)
2
+ (y − 3)
2
= √
10 ⇔ (x − 2)
2
+ (y − 3)
2
= 10. (1)
Vì thế, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(2; 3) bán kính R = √
10.
Gọi A(0; 4), B(6; 1). Khi đó, P = |2z − 8i| + |z − 6 − i| = 2|z − 4i| + |z − 6 − i|
= 2 p
x
2
+ (y − 3)
2
+ p
(x − 6)
2
+ (y − 1)
2
= 2M A + M B.
IA = (−2; 1), # »
IB = (4; −2) và 2 # »
IA + # »
IB = #» 0 .
Để ý, # »
y
M
A
4
I
3
1
B
x
2 6
O
16
M I + # »
IA
2
+ # »
IB
2
Ta có 2M A
2
+ M B
2
= 2 # »
IB
2 # »
M I
IB
2
+ 2 # »
IA
2
+ # »
M I
2
+ 2 # »
= 3 # »
= 3M I
2
+ 2IA
2
+ IB
2
= 3 × 10 + 2 × 5 + 20 = 60.
(2 + 1) (2M A
2
+ M B
2
)
2 √
2M A
+ 1 · M B ≤ p
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki thì P = √
= p
3 (2M A
2
+ M B
2
) = √
180 = 6 √
5.
√ 2M A
√ 2 = M B
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 ⇔ M A = M B. Hay M là giao điểm giữa đường trung
trực của đoạn thẳng AB với đường tròn.
Vậy giá trị lớn nhất của P là P
max