CÁCH 1.GỌI Z = X + YI, (X, Y ∈ R ) LÀ SỐ PHỨC THỎA MÃN BÀI TOÁ...

Câu 37. Cách 1.

Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R ) là số phức thỏa mãn bài toán và M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z.

Ta có

|z − 4 + 3i| = 3 ⇔ p

(x − 4)

+ (y + 3)

= 3 ⇔ (x − 4)

+ (y + 3)

= 9. (1)

Vì thế, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(4; −3) bán kính R = 3.

Ta có |z − 1 − i| = p

(x − 1)

+ (y − 1)

chính là khoảng cách từ điểm M đến điểm A(1; 1).

y

A

1

4

x

O

−3 I

M

Do đó, |z − 1 − i| lớn nhất khi và chỉ khi ba điểm M , A, I thẳng hàng và I nằm giữa hai điểm A, M .

Suy ra # »

IM cùng hướng với # »

AI. Tức là tồn tại số thực k > 0 sao cho # »

IM = k # »

AI .

( x − 4 = 3k

Điều này tương đương với

y + 3 = −4k. (2)

Kết hợp với (1) ta được (3k)

+ (−4k)

= 9, suy ra k = 3

5 (vì k > 0).

Thay k = 3

5 i.

5 − 27

5 vào (2) ta có z = 29

Cách 2.

Gọi z = x + yi, (x, y ∈ R ) là số phức thỏa mãn điều kiện |z − 4 + 3i| = 3.

Ta có |z − 1 − i| = |(z − 4 + 3i) + (3 − 4i)| ≤ |z − 4 + 3i| + |3 − 4i| = 3 + 5 = 8.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tồn tại k ≥ 0 sao cho z − 4 + 3i = k(3 − 4i) ⇔

y + 3 = −4k.

Kết hợp với |z − 4 + 3i| = 3 ⇔ (x − 4)

+ (y + 3)

= 9 ta có (3k)

+ (−4k)

= 9 ⇒ k = 3

5 .

Vậy z = 29

13