9.17. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện
a) |z − 1 + i| = 2. b) |2 + z| = |i − z|. c) |2 + z| > |z − 2|.
z
d) 1 ≤ |z + 1 − i| ≤ 2. e) |z − 4i| + |z + 4i| = 10. f)
z−i
= 3.
Lời giải.
a) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R ). Ta có
|z − 1 + i| = 2 ⇔ |x + yi − 1 + i| = 2 ⇔ |x − 1 + (y + 1)i| = 2 ⇔ (x − 1) 2 + (y + 1) 2 = 4
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1; −1) và bán kính R = 2.
b) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R ). Ta có
|2 + z| = |i − z| ⇔ |2 + x + yi| = |i − x − yi| ⇔ (x + 2) 2 + y 2 = x 2 + (y − 1) 2 ⇔ 4x + 2y + 3 = 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
c) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R ). Ta có
|2 + z| > |z − 2| ⇔ |2 + x + yi| > |x + yi − 2| ⇔ (x + 2) 2 + y 2 > (x − 2) 2 + y 2 ⇔ x > 0
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục Oy, không kể trục Oy.
d) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R ). Ta có
1 ≤ |z + 1 − i| ≤ 2 ⇔ 1 ≤ |x + yi + 1 − i| ≤ 2 ⇔ 1 ≤ (x + 1) 2 + (y − 1) 2 ≤ 4
Gọi (C 1 ) và (C 2 ) là hai đường tròn tâm I(−1; 1) và bán kính lần lượt là R 1 = 1 và R 2 = 2.
Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là phần mặt phẳng nằm giữa (C 1 ) và (C 2 ), kể cả (C 1 ) và (C 2 ).
e) Gọi z = x + yi (x, y ∈ R ). Ta có
q
|z − 4i| + |z + 4i| = 10 ⇔ |x + yi − 4i| + |x + yi + 4i| = 10 ⇔
x 2 + (y − 4) 2 +
x 2 + (y + 4) 2 = 10 (1)
x 2 + (y − 4) 2 (2).
x 2 + (y + 4) 2 , F 2 M = p
Đặt F 1 (0; −4) và F 2 (0; 4). Với M(x;y) bất kỳ ta có F 1 M = p
Từ (1) và (2) ta có F 1 M + F 2 M = 10, suy ra tập hợp các điểm M là elip có hai tiêu điểm F 1 (0; −4) và F 2 (0; 4).
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm F 1 (0; −4) và F 2 (0; 4).
f) Điều kiện: z 6= i. Khi đó gọi z = x + yi (x, y ∈ R ). Ta có
x 2 + (y − 1) 2
= 3 ⇔ |x + yi| = 3 |x + yi − i| ⇔ x 2 + y 2 = 9
⇔ x 2 + y 2 − 9
z − i
4 y + 9
8 = 0
r 9
và bán kính R =
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I
0; 9
8
64 = 3
Bạn đang xem 9. - DAP AN CHUYEN DE TOÁN - SỐ PHỨC
