(3,0 ĐIỂM) 1) CHO HÌNH BÌNH HÀNH ABCD TÂM O. LẤY CÁC ĐIỂM I,...

Câu 3. (3,0 điểm) 1) Cho hình bình hành ABCD tâm O. Lấy các điểm I, J sao cho:

3 IA + 2 IC − 2 ID = 0 (1) và JA − 2 JB + 2 JC = 0 (2)

Chứng minh rằng: I, J, O thẳng hàng.

2) Cho tam giác ABC. Các điểm D,E,F trên các cạnh BC,CA,AB thỏa mãn: ^{BD CE AF}

CD = AE = BF .

Chứng minh

a) Hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm

b) Nếu hai tam giác ABC và DEF chung trực tâm thì tam giác ABC đều.

Lời giải:

1) Ta có:

(1)  3( OA OI − ) + 2( OC − OI ) 2( − OD OI − ) = 0  − 3 OI + 3 OA + 2 OC − 2 OD = 0

 − + + − − − = 1

3 OI 3 OA 2( OA ) 2( OB ) 0

OI (OA 2OB)

 = 3 +

(2)  − OJ + OA − 2OB 2OC + = 0  − OJ + OA − 2OB 2( OA) + − = 0  OJ = − OA − 2OB

Từ (3) và (4) suy ra: OI ¹ OJ I, J, O

= − 3  thẳng hàng

2) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

   

 + 

AF BF

+ + =   +     + +   +

Ta có GD GE GF ^BD GC ^CD GB ^CE GA ^AE GC

 

GB GA

 

AB BA

BC CB CA AC

     

BD AE CD AF CE BF

=   +   +   +   +   +   = + + GC = 0.

GC GB GA GA GB

BC AC CB AB CA BA

Suy ra G là trọng tâm tam giác DEF

A

F

E

O

B

C

D

Lại có hai tam giác ABC và DEF có chung trực tâm nên dựa vào tính chất của đường thẳng

Euler suy ra hai tam giác cũng có chung tâm đường tròn ngoại tiếp O .

Gọi ( ) O là đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Do OD = OE nên OD

− R

= OE

− R

Suy ra DB DC . = EC EA . . Mà ^{DB EC}

DC = EA nên DC

= EA

Chứng minh tương tự ta thu được DC = EA = FB . Từ đó BC = CA = AB hay tam giác ABC đều.