CHO LỤC GIÁC ABCDEF NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN TÂM O THỎA MÃN AB CD EF ....

2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ.

Chứng minh rằng IJ song song với AE

B

A M

Lời giải (hình 1.36)

N

I

Ta có 2 IJ IQ IN IM MQ IP PN

C

1 1

J

MQ PN AE BD DB

P

E

2 2

Q

1

D

AE

2

Suy ra IJ song song với AE

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc các đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn

0 , MB MC NC NA PA PB 0 thì AM, BN, CP

đồng quy tại O, với O là điểm được xác định bởi OA OB OC 0

Lời giải

Ta có MB MC 0 MO OB MO OC 0

OA OB OC MO OA

MO OA

Suy ra M, O, A thẳng hàng hay AM đi qua điểm cố định O

Tương tự ta có BN, CP đi qua O

Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy

Ví dụ 3: Cho sáu điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi là một tam giác có

ba đỉnh lấy trong sáu điểm đó và ' là tam giác có ba đỉnh còn lại. Chứng minh rằng với các

cách chọn khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và ' đồng quy.

Định hướng. Giả sử sáu điểm đó là A, B, C, D, E, F.

Ta cần chứng minh tồn tại một điểm H cố định sao cho với các cách chọn khác nhau thì H

thuộc các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và ' . Nếu là tam giác ABC thì '

là tam giác DEF. Gọi G và G

lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF.

H thuộc đường thẳng GG ' khi có số thực k sao cho HG kHG

^'

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

HA HB HC k HD HE HF

1 ( ) ( )

3 3

k k k

1 1 1

HA HB HC HD HE HF

3 3 3 3 3 3 0

Vì vai trò của các điểm A, B, C, D, E, F trong bài toán bình đẳng nên chọn k sao cho

k 1 k

3 3 1 khi đó HA HB HC HD HE HF 0

Gọi H là trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F khi đó

HA HB HC HD HE HF 0 *

Giả sử G G , ' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC DEF , suy ra

GA GB GC 0, G D ' G E ' G F ' 0

Suy ra

HG GA GB GC HG G D G E G F

* 3 3 ' ' ' '

HG HG '

Do đó GG' đi qua điểm cố định H do đó các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và

' đồng quy.