(2,0 ĐIỂM) TÌM TẤT CẢ CÁC HÀM F R

Câu 4. (2,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f R : → R thỏa mãn:

( ^{( )}

)

^{2 ( ) ( ( ))}

^,

f x − y = x − yf x + f y  x y  .

Lời giải:

 =

x y f f f

= =  =    =

Cho 0 (0) ( (0))

^{(0) 0}

f

(0) 1

 =

   ta được: ^{f x} ( )

^{= x}

^{ f t ( ) =   t t 0}

Nếu f (0) = 0 : Cho ^{y 0}

x

Cho x =  y ta được: f (0) = x

− 2 xf x ( ) ( ( )) + f x

 ( ( ) f x − x )

=  0 f x ( ) = x với mọi x. Thử

lại thấy đúng.

   ta được: ^{f x} ( )

^{= x}

^{+  1 f t ( ) = +   t 1 t 0 .}

Nếu f (0) = 1: Cho ^{y 0}

Cho x = 0; y  ta được: ^{f y} ( )

^{= − 2 y + ( ( )) f y}

^{ ( ( )) f y}

^{= f y} ( )

^{+ 2 y}

 = +

f y y

= + + = +    = − − với mọi y

( ) 1

y y y

1 2 ( 1)

( ) 1

Giả sử   y

R sao cho: f y ( )

= − − y

¹ . Chọn x = = y y

ta được:

 = −

( ) ( ( ) )

^{( )} _{( )}

= − +    = +

1

1 2

y y f y f y

1

Nếu f y ( )

= y

−  − − = ¹ y

¹ y

−  ¹ y

= ⁰ và f (0) = − 1 (loai).

Nếu f y ( )

= y

+  − − = ¹ y

¹ y

+  ¹ y

= −  ¹ f ^{( 1)} − = ⁰ .

Thỏa mãn: f y ( )

= y

+ ¹ . Vậy f y ( ) = +   y 1 y R . Thử lại thấy đúng.